Окружность, описанная около треугольника
📏 Геометрия · 7 класс
Что такое описанная окружность
Окружность, описанная около треугольника, — это окружность, проходящая через все три его вершины. Сам треугольник при этом оказывается вписанным в окружность. Центр описанной окружности одинаково удалён от всех вершин, а радиус равен расстоянию от центра до любой из них.
Важное свойство: около любого треугольника можно описать окружность, причём только одну. Это значит, что три вершины треугольника всегда лежат на одной общей окружности, и такая окружность единственна.
Где находится центр
Чтобы найти центр, используют серединные перпендикуляры. Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через его середину под прямым углом к отрезку. Главное свойство такой прямой: каждая её точка одинаково удалена от концов отрезка.
Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке.
Почему так? Точка на серединном перпендикуляре к стороне AB равноудалена от A и B. Точка на перпендикуляре к стороне BC равноудалена от B и C. В их пересечении точка равноудалена сразу от всех трёх вершин — это и есть центр.
Положение центра
Где именно окажется центр, зависит от вида треугольника:
| Вид треугольника | Где центр |
|---|---|
| Остроугольный | внутри треугольника |
| Прямоугольный | на середине гипотенузы |
| Тупоугольный | вне треугольника |
Разбор построения
Построить центр и саму окружность можно циркулем и линейкой.
Дано: треугольник ABC.
1. Построить серединный перпендикуляр к стороне AB.
2. Построить серединный перпендикуляр к стороне BC.
3. Точку O их пересечения принять за центр.
4. Измерить радиус: R = OA = OB = OC.
5. Провести окружность радиуса R с центром O.Третий серединный перпендикуляр — к стороне AC — обязательно пройдёт через ту же точку O. Это служит хорошей проверкой правильности построения.
Частая ошибка. Путают центр описанной окружности с точкой пересечения биссектрис. Биссектрисы дают центр вписанной окружности, а описанную задают именно серединные перпендикуляры к сторонам.
Полезные факты
- около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну;
- в прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности;
- радиус описанной окружности равен расстоянию от центра до любой вершины.
Кратко о главном
- Описанная окружность проходит через все три вершины треугольника.
- Её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
- Центр равноудалён от вершин, и это расстояние равно радиусу.
- Положение центра зависит от вида треугольника: внутри, на гипотенузе или снаружи.