Окружность, вписанная в треугольник
📏 Геометрия · 7 класс
Что такое вписанная окружность
Окружность, вписанная в треугольник, — это окружность, которая касается всех трёх его сторон. Каждая сторона треугольника является касательной к окружности, а точки касания лежат на самих сторонах. Сам треугольник при этом называют описанным около окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Это свойство тесно связано с биссектрисами углов треугольника.
Где находится центр
Чтобы найти центр, используют биссектрисы. Биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Главное свойство биссектрисы: каждая её точка одинаково удалена от сторон угла.
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Она одинаково удалена от всех трёх сторон, и это расстояние равно радиусу окружности.
Точка на биссектрисе угла A равноудалена от сторон AB и AC. Точка на биссектрисе угла B равноудалена от сторон AB и BC. В их пересечении точка равноудалена сразу от всех трёх сторон — это центр вписанной окружности.
Сравнение двух окружностей
Семиклассники изучают сразу две окружности, связанные с треугольником. Их легко перепутать, поэтому полезно сравнить.
| Окружность | Центр | Где центр |
|---|---|---|
| Вписанная | пересечение биссектрис | всегда внутри |
| Описанная | пересечение серединных перпендикуляров | зависит от вида |
Разбор построения
Дано: треугольник ABC.
1. Построить биссектрису угла A.
2. Построить биссектрису угла B.
3. Точку O их пересечения принять за центр.
4. Опустить перпендикуляр из O на сторону AB.
5. Длина этого перпендикуляра r — радиус.
6. Провести окружность радиуса r с центром O.Радиус в точку касания проводится строго под прямым углом к стороне: радиус, проведённый в точку касания, всегда перпендикулярен касательной. Это ключевое свойство касательной к окружности.
Частая ошибка. За радиус берут отрезок от центра до вершины треугольника. На самом деле радиус вписанной окружности — это перпендикуляр от центра до стороны, а не до вершины.
Полезные факты
- центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника;
- радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне;
- в любой треугольник вписывается ровно одна окружность.
Почему центр всегда внутри
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, а биссектрисы любого треугольника всегда проходят внутри него и пересекаются в одной внутренней точке. Поэтому центр вписанной окружности не может оказаться на стороне или снаружи — он всегда строго внутри треугольника. Этим вписанная окружность заметно отличается от описанной, центр которой у тупоугольного треугольника выходит за его пределы.
Кратко о главном
- Вписанная окружность касается всех трёх сторон треугольника.
- Её центр — точка пересечения биссектрис углов.
- Центр равноудалён от сторон, и это расстояние равно радиусу.
- В любой треугольник вписывается ровно одна окружность, её центр всегда внутри.