Сумма углов треугольника

Что утверждает теорема

Сумма углов треугольника — одна из основных теорем планиметрии. Она гласит: сумма всех трёх внутренних углов любого треугольника равна 180 градусам. Это значит, что независимо от формы и размеров треугольника три его угла в сумме всегда дают развёрнутый угол. Эту теорему относят к числу важнейших, потому что на ней основано множество задач и доказательств в геометрии 7 класса.

Теорему доказывают с помощью свойств параллельных прямых, которые вы уже изучили. Через одну из вершин проводят прямую, параллельную противоположной стороне, и используют равенство накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей.

Идея доказательства

Пусть дан треугольник с вершинами A, B, C. Через вершину B проведём прямую, параллельную стороне AC. Тогда угол при вершине A равен одному из углов при B (как накрест лежащие при параллельных прямых), а угол при вершине C равен другому такому углу. Вместе с самим углом B они образуют развёрнутый угол при вершине B:

угол A + угол B + угол C = 180 градусов

Так как развёрнутый угол равен 180 градусам, то и сумма трёх углов треугольника равна 180 градусам. Доказательство закончено.

Следствия теоремы

Из теоремы вытекает несколько важных утверждений, которые часто используют в задачах:

• В треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов одновременно, ведь уже два прямых угла дают 180 градусов.
• Если один угол прямой, то два других в сумме дают 90 градусов и оба являются острыми.
• В равностороннем треугольнике все углы равны, поэтому каждый из них равен 60 градусам.
• Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то равны и их третьи углы.

Виды треугольников по углам

Пример решения

В треугольнике два угла равны 50 и 70 градусам. Найдём третий угол.

третий угол = 180 - (50 + 70) = 180 - 120 = 60 градусов

Значит, треугольник остроугольный, ведь все его углы меньше 90 градусов. Если бы один из углов оказался больше 90 градусов, треугольник был бы тупоугольным, а появление прямого угла сделало бы его прямоугольным.

Частые ошибки. Не путайте сумму углов с суммой сторон — теорема говорит только об углах. Также помните, что 180 градусов получается всегда, даже если треугольник очень «вытянутый» или почти равносторонний. Нельзя задать треугольник с углами 90, 60 и 60 градусов: их сумма больше 180.

Кратко о главном

• Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180 градусам.
• Доказательство опирается на параллельные прямые и накрест лежащие углы.
• В треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов.
• Зная два угла, третий находят вычитанием их суммы из 180 градусов.