Полуплоскость

Полуплоскость

Полуплоскость — это часть плоскости, лежащая по одну сторону от некоторой прямой. Любая прямая, проведённая на плоскости, делит эту плоскость на две части — две полуплоскости. Сама прямая называется границей каждой из этих полуплоскостей. Граница как бы разделяет плоскость, но не входит во внутреннюю область ни одной из полуплоскостей. Это базовое геометрическое понятие, которое помогает строго описывать расположение точек и фигур.

Основное свойство

Главное свойство полуплоскостей формулируют так: если две точки лежат в одной полуплоскости, то соединяющий их отрезок не пересекает границу. Если же две точки лежат в разных полуплоскостях, то отрезок между ними обязательно пересекает прямую-границу ровно в одной точке. Это свойство позволяет по виду отрезка судить о взаимном расположении точек.

Где применяют

Понятие полуплоскости помогает строго рассуждать о положении фигур. Например, когда говорят, что точка лежит внутри угла, имеют в виду, что она принадлежит общей части двух полуплоскостей, заданных сторонами этого угла. На полуплоскости опираются и при построении углов: формулировка «отложить угол заданной величины от данного луча в указанную полуплоскость» однозначно определяет, в какую сторону строить угол. Без понятия полуплоскости такие построения были бы неоднозначными.

Луч и полуплоскость

Важно не путать полуплоскость с лучом. Луч — это часть прямой, одномерная фигура. Полуплоскость — это двумерная область, часть плоскости. Точка на прямой делит прямую на два луча, а прямая на плоскости делит плоскость на две полуплоскости. Аналогия в названиях есть, но размерности этих объектов разные.

Разобранный пример

Прямая a делит плоскость на две полуплоскости. Точки A и B отмечены так, что отрезок AB пересекает прямую a в точке M. Определим взаимное расположение точек.

A и B лежат в разных полуплоскостях относительно a
Поскольку отрезок пересекает границу, его концы находятся по разные стороны прямой. Если бы отрезок AB не пересекал прямую a, мы заключили бы, что точки A и B лежат в одной полуплоскости.

Частые ошибки. Считают, что граница принадлежит обеим полуплоскостям как их часть, — на самом деле прямая лишь разделяет плоскость. Путают полуплоскость (двумерную область) с лучом или полупрямой (частью прямой). Забывают, что точка на границе не относится ни к одной из полуплоскостей.

Кратко о главном

• Прямая делит плоскость на две полуплоскости.
• Граница полуплоскости — это сама прямая.
• Точки одной полуплоскости соединяет отрезок, не пересекающий границу.
• Точки разных полуплоскостей соединяет отрезок, пересекающий границу.
• Понятие используют для определения внутренней области угла и построения углов.