Признак равнобедренного треугольника
📏 Геометрия · 7 класс
Что утверждает признак
Признак равнобедренного треугольника — это теорема, обратная свойству углов при основании. Она звучит так: если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный, причём равны те стороны, которые лежат напротив этих углов.
Напомним: равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называют боковыми, а третью — основанием. Углы, прилежащие к основанию, называют углами при основании.
Свойство и признак
Очень важно различать свойство и признак равнобедренного треугольника. Они говорят об одном и том же, но идут в разные стороны.
| Утверждение | Что дано — что следует |
|---|---|
| Свойство | равны боковые стороны — равны углы при основании |
| Признак | равны два угла — равны противолежащие стороны |
Свойство идёт от сторон к углам, а признак — наоборот, от углов к сторонам. Такие пары утверждений называют взаимно обратными.
Формулировка признака
Если в треугольникеABCуголAравен углуB, то стороны, противолежащие им, равны:BC = AC. Значит, треугольник равнобедренный с основаниемAB.
Разбор примера
Пусть в треугольнике известно, что два угла равны, нужно доказать, что он равнобедренный.
Дано: в треугольнике ABC угол A = 50, угол B = 50 градусов.
Доказать: треугольник равнобедренный.
Решение:
1. Углы A и B равны (по условию).
2. По признаку стороны, противолежащие равным углам, равны.
3. Против угла A лежит сторона BC, против угла B — сторона AC.
4. Значит BC = AC.
Вывод: треугольник равнобедренный с основанием AB.Полезное следствие
Если все три угла треугольника равны между собой и каждый равен 60 градусам, то по признаку равны и все три стороны. Такой треугольник называют равносторонним. Таким образом, равносторонний треугольник — это частный случай равнобедренного.
Частая ошибка. Считают равными не те стороны. Равны те стороны, что лежат напротив равных углов, а не прилежащие к ним. Нужно внимательно следить за тем, какая сторона какому углу противолежит.
Где применяют
- чтобы доказать равенство отрезков через равенство углов;
- при обосновании, что треугольник является равносторонним;
- в задачах с биссектрисами и параллельными прямыми.
Как отличить свойство от признака
Школьники часто путают свойство и признак, потому что в обоих участвуют равные стороны и равные углы. Чтобы не ошибаться, нужно смотреть, что дано в условии. Если в условии сказано про равные стороны, а доказать нужно равенство углов — это свойство. Если же дано равенство углов, а вывести нужно равенство сторон — это признак. Иначе говоря, признак отвечает на вопрос, по каким данным можно узнать, что треугольник равнобедренный.
Кратко о главном
- Признак: два равных угла делают треугольник равнобедренным.
- Равны стороны, противолежащие равным углам.
- Признак обратен свойству углов при основании.
- Если равны все три угла, треугольник равносторонний.