Свойство катета против угла 30 градусов

Свойство катета против угла 30 градусов

В прямоугольном треугольнике существует важное свойство, связывающее сторону и угол: катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Это свойство часто встречается в задачах 7 класса и позволяет находить стороны без сложных вычислений. Верно и обратное утверждение: если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусам.

Формулировка

Пусть в прямоугольном треугольнике острый угол равен 30 градусам. Тогда катет, который лежит напротив этого угла, ровно вдвое меньше гипотенузы.

если ∠A = 30°, то BC = ½ · AB
где BC — катет против угла 30 градусов, а AB — гипотенуза.

Идея доказательства

Если острый угол равен 30 градусам, то второй острый угол равен 90° − 30° = 60°. Достроим треугольник до равностороннего: приложим к нему симметричную копию, отразив относительно катета, прилежащего к углу 60 градусов. Получится треугольник, у которого все углы по 60 градусов, а значит, он равносторонний. Исходный катет, лежащий против угла 30 градусов, оказывается ровно половиной стороны этого равностороннего треугольника, то есть половиной гипотенузы исходного.

Где применяют

Это свойство удобно в задачах, где известна гипотенуза и угол 30 градусов: тогда сразу находят нужный катет делением гипотенузы пополам. Обратное свойство помогает доказать, что угол равен 30 градусам, если видно, что катет вдвое короче гипотенузы. Свойство тесно связано с равносторонним треугольником, поэтому его доказательство полезно понимать, а не только запоминать формулу.

Связь с углом 60 градусов

Если один острый угол прямоугольного треугольника равен 30 градусам, то второй острый угол равен 60 градусам. Поэтому свойство часто встречается под названием «треугольник с углами 30, 60 и 90 градусов». В таком треугольнике катет против угла 30 градусов — самый короткий, гипотенуза — самая длинная сторона, а катет против угла 60 градусов имеет промежуточную длину. Это удобно помнить при решении задач.

Разобранный пример

В прямоугольном треугольнике гипотенуза AB = 12 см, а острый угол ∠A = 30°. Найдём катет BC, лежащий против этого угла.

BC = ½ · AB = ½ · 12 = 6 (см)

Частые ошибки. Применяют правило к катету, лежащему против угла 60 градусов, — но половине гипотенузы равен именно катет против 30 градусов. Забывают, что свойство работает только в прямоугольном треугольнике. Иногда вместо деления на два умножают гипотенузу на два.

Кратко о главном

• Катет против угла 30 градусов равен половине гипотенузы.
• Обратно: если катет — половина гипотенузы, то угол против него равен 30 градусам.
• Свойство доказывают достройкой до равностороннего треугольника.
• Правило действует только в прямоугольном треугольнике.