Углы при пересечении двух прямых

Углы при пересечении двух прямых

Когда две прямые пересекаются, они образуют четыре угла с общей вершиной — точкой пересечения этих прямых. Эти четыре угла связаны между собой строгими и простыми соотношениями, которые очень часто используют при решении задач, особенно с параллельными прямыми и секущей.

Какие пары углов образуются

Среди четырёх образовавшихся углов выделяют две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Вертикальные углы лежат напротив друг друга через вершину, а смежные углы располагаются рядом и имеют общую сторону.

Разбор на числах

Две прямые пересеклись, один угол равен 70°.
Смежный с ним:   180 − 70 = 110°
Вертикальный:    равен 70°
Четвёртый угол:  равен 110°
Итого четыре угла: 70°, 110°, 70°, 110°.
Проверка суммы: 70 + 110 + 70 + 110 = 360°.

Острые и тупые углы

Если прямые пересекаются не под прямым углом, то два угла из четырёх будут острыми и равными между собой, а два других — тупыми и тоже равными между собой. Острый и тупой углы при этом оказываются смежными, поэтому в сумме они дают 180°. Получается красивая картина: углы чередуются — острый, тупой, острый, тупой.

Правило. Сумма всех четырёх углов при пересечении двух прямых равна 360°. Вертикальные углы равны между собой, а смежные дополняют друг друга до 180°. Этих двух фактов достаточно, чтобы найти все углы.

Особый случай — перпендикуляр

Если две прямые перпендикулярны, то все четыре угла равны между собой, и каждый из них составляет ровно 90°. В этом случае нет деления на острые и тупые углы — все четыре угла прямые. Именно так определяют перпендикулярные прямые: они пересекаются под прямым углом.

Как применять

Зная всего лишь один из четырёх углов, можно сразу найти остальные три. Вертикальный угол равен данному, а два смежных угла равны 180° минус данный угол. Этот приём постоянно используется в задачах, где две параллельные прямые пересечены секущей: там одинаковые углы повторяются у обеих точек пересечения.

Совет по чертежу

На чертеже полезно отмечать равные углы одинаковыми дугами. Тогда сразу видно, какие из четырёх углов равны между собой, а какие дополняют друг друга до развёрнутого угла. Аккуратная разметка помогает не запутаться при поиске неизвестных углов.

Связь с параллельными прямыми

Углы при пересечении прямых лежат в основе всей темы о параллельных прямых. Когда секущая пересекает две прямые, в каждой точке пересечения образуется своя четвёрка углов. Сравнивая углы из разных четвёрок, вводят накрест лежащие, односторонние и соответственные углы. Именно по равенству или сумме этих углов и судят о параллельности прямых, поэтому понимание четвёрки углов в одной точке здесь особенно важно.

Кратко о главном

• При пересечении двух прямых образуется четыре угла.
• Вертикальные углы равны между собой.
• Смежные углы в сумме дают 180°.
• Сумма всех четырёх углов равна 360°.
• Зная один угол, находят остальные три.
• У перпендикулярных прямых все четыре угла по 90°.