Равенство геометрических фигур
📏 Геометрия · 7 класс
Равенство геометрических фигур
Равными называют такие геометрические фигуры, которые можно совместить наложением. Если одну фигуру мысленно перенести и положить на другую так, что они полностью совпадут, значит, фигуры равны. Это определение лежит в основе всех признаков равенства треугольников.
Что значит наложение
Наложение — это перемещение фигуры по плоскости без изменения её формы и размеров. Фигуру можно сдвигать, поворачивать и переворачивать. Если после такого движения фигуры совпали во всех точках, они равны.
| Фигуры | Когда равны | Обозначение |
|---|---|---|
| Отрезки | равны их длины | AB = CD |
| Углы | равны их градусные меры | ∠A = ∠B |
| Треугольники | совмещаются наложением | △ABC = △A₁B₁C₁ |
Равенство отрезков и углов
Два отрезка равны, если у них одинаковая длина. Два угла равны, если их градусные меры совпадают. Это простые частные случаи общего понятия равенства фигур.
- Равные отрезки имеют равные длины.
- Равные углы имеют равные градусные меры.
- У равных фигур равны все соответственные элементы.
Соответственные элементы
Когда два треугольника равны, важно правильно указать порядок вершин. Запись △ABC = △A₁B₁C₁ означает, что точка A совмещается с A₁, точка B — с B₁, точка C — с C₁. Из этого следует равенство соответственных сторон и углов.
Если △ABC = △A₁B₁C₁, то:
AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁;
∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁.Запомни. Порядок букв в записи равенства треугольников не случаен. Нельзя написать△ABC = △B₁A₁C₁, если совмещаются именноAсA₁. Перепутанный порядок приведёт к неверным выводам о сторонах.
Свойства равенства
Равенство фигур обладает теми же свойствами, что и равенство чисел. Любая фигура равна сама себе. Если первая фигура равна второй, то и вторая равна первой. Если первая фигура равна второй, а вторая — третьей, то первая равна третьей. Эти простые свойства часто используют в цепочках рассуждений при доказательствах.
- Каждая фигура равна сама себе.
- Если первая равна второй, то вторая равна первой.
- Если первая равна второй, а вторая — третьей, то первая равна третьей.
Признаки равенства треугольников
Проверять равенство треугольников наложением неудобно. Поэтому в геометрии доказаны специальные признаки равенства, которые позволяют установить равенство треугольников лишь по нескольким их элементам — сторонам и углам. Эти признаки опираются именно на понятие равенства фигур через наложение и изучаются сразу после него.
Зачем нужно равенство фигур
Через равенство фигур доказывают, что отрезки или углы имеют одинаковую длину или меру, не измеряя их. Это главный приём геометрических доказательств в седьмом классе. Многие задачи на построение и вычисление сводятся к тому, чтобы найти пару равных треугольников.
Кратко о главном
- Равные фигуры совмещаются наложением.
- Отрезки равны при равных длинах, углы — при равных мерах.
- В записи равенства треугольников важен порядок вершин.
- У равных фигур равны все соответственные элементы.