Соотношения между сторонами и углами треугольника

📏 Геометрия · 7 класс

Основное правило

Соотношения между сторонами и углами треугольника связывают величину угла с длиной противолежащей стороны. Главное правило формулируется так: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно — против большего угла лежит большая сторона. Эти два утверждения дополняют друг друга.

Углом, противолежащим стороне, называют угол, вершина которого не принадлежит этой стороне. Например, напротив стороны BC лежит угол A, напротив стороны AC — угол B, напротив стороны AB — угол C.

Две формулировки

Правило работает в обе стороны, поэтому его удобно держать в двух формах.

Если BC > AC, то угол A больше угла B. И наоборот: если угол A больше угла B, то BC > AC. Большей стороне соответствует больший противолежащий угол.

Таблица соответствия

Чтобы не путать стороны с углами, полезно держать перед глазами их соответствие.

Сторона	Противолежащий угол
`a = BC`	угол `A`
`b = AC`	угол `B`
`c = AB`	угол `C`

Разбор примера

Пусть в треугольнике известны все три угла, нужно расставить стороны по возрастанию.

Дано: в треугольнике углы A = 80, B = 60, C = 40 градусов.
Задание: расставить стороны по возрастанию.
Решение:
1. Наименьший угол C, ему соответствует наименьшая сторона c.
2. Средний угол B, ему соответствует средняя сторона b.
3. Наибольший угол A, ему соответствует наибольшая сторона a.
Вывод: c < b < a, то есть AB < AC < BC.

Важные следствия

Из правила вытекают полезные частные случаи, которые часто встречаются в задачах.

в равнобедренном треугольнике равным сторонам соответствуют равные углы;
в прямоугольном треугольнике наибольший угол прямой, поэтому против него лежит наибольшая сторона — гипотенуза;
отсюда следует, что каждый катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы;
правило помогает оценивать стороны, зная только углы, и наоборот.

Частая ошибка. Сопоставляют угол со стороной, к которой он прилегает, а не с противолежащей. Сравнивать нужно угол и сторону, лежащую строго напротив него, иначе вывод окажется неверным.

Связь с неравенством треугольника

Соотношения между сторонами и углами тесно связаны с неравенством треугольника, которое утверждает, что каждая сторона меньше суммы двух других. Оба правила описывают, как длины сторон согласованы между собой и с углами. Вместе они помогают понять, какой треугольник вообще может существовать и как в нём расположены большие и малые элементы. Например, если один угол треугольника тупой, то против него лежит самая длинная сторона, и она же ограничена неравенством треугольника сверху.

Кратко о главном

Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Угол сопоставляется с противолежащей, а не с прилежащей стороной.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза — наибольшая сторона.
Правило связывает порядок углов с порядком сторон треугольника.

← Предыдущая тема

Деление отрезка пополам

Следующая тема →

Признак равнобедренного треугольника