Сумма острых углов прямоугольного треугольника
📏 Геометрия · 7 класс
Основное свойство
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90 градусам. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две стороны, образующие прямой угол, — катетами. Главное свойство углов такого треугольника формулируется коротко: сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
Это значит, что острые углы прямоугольного треугольника всегда дополняют друг друга до прямого. Если один из них увеличить, второй на столько же уменьшится.
Откуда берётся правило
Доказательство опирается на теорему о сумме углов треугольника: сумма всех трёх углов любого треугольника равна 180 градусам. Если один угол прямой и равен 90, то на два оставшихся приходится столько же: 180 - 90 = 90 градусов.
Если в прямоугольном треугольнике один острый угол равенα, то второй равен90 - α. Сумма острых углов всегда постоянна и равна 90 градусам.
Таблица значений
Зная один острый угол, второй находят вычитанием из 90 градусов. Несколько примеров:
| Один острый угол | Второй острый угол |
|---|---|
| 30 градусов | 60 градусов |
| 45 градусов | 45 градусов |
| 20 градусов | 70 градусов |
| 55 градусов | 35 градусов |
Разбор примера
Пусть в прямоугольном треугольнике известен один из острых углов, нужно найти второй.
Дано: прямоугольный треугольник, прямой угол C, угол A = 35 градусов.
Найти: угол B.
Решение:
1. Углы A и B острые, их сумма равна 90.
2. угол A + угол B = 90.
3. угол B = 90 - 35 = 55 градусов.
Ответ: угол B = 55 градусов.Особый случай — когда оба острых угла равны. Тогда каждый из них равен 45 градусам. Такой треугольник одновременно прямоугольный и равнобедренный, его катеты равны между собой.
Полезные следствия
- в прямоугольном треугольнике не может быть двух прямых или тупых углов;
- прямой угол — наибольший в таком треугольнике, поэтому против него лежит наибольшая сторона — гипотенуза;
- каждый острый угол строго меньше 90 градусов.
Частая ошибка. Пытаются вычесть острый угол из 180, забыв, что прямой угол уже занял 90 градусов. Вычитать нужно именно из 90, ведь речь идёт только о двух острых углах.
Где пригодится
- при нахождении неизвестного угла без транспортира;
- в задачах с высотой, опущенной на гипотенузу;
- как опора для свойства катета, лежащего против угла 30 градусов;
- при решении задач, где известен только один из острых углов.
Связь с другими свойствами
Правило о сумме острых углов часто работает вместе с другими фактами о прямоугольном треугольнике. Например, если в таком треугольнике катет лежит против угла 30 градусов, то этот катет равен половине гипотенузы. А зная угол 30, мы сразу находим второй острый угол: он равен 60 градусам. Так одно свойство помогает применить другое.
Кратко о главном
- В прямоугольном треугольнике один угол равен 90 градусам.
- Сумма двух острых углов всегда равна 90 градусам.
- Зная один острый угол
α, второй находят как90 - α. - Если острые углы равны, треугольник прямоугольный равнобедренный с углами 45 и 45 градусов.