Серединный перпендикуляр к отрезку

Серединный перпендикуляр к отрезку

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая проходит через середину отрезка перпендикулярно ему. Иногда его называют срединным перпендикуляром. У каждого отрезка есть ровно один серединный перпендикуляр. Это понятие важно для задач на построение и для изучения окружности, описанной около треугольника.

Главное свойство

Серединный перпендикуляр обладает важным свойством равноудалённости: каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Верно и обратное утверждение: если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на его серединном перпендикуляре. Таким образом, серединный перпендикуляр — это множество всех точек плоскости, одинаково удалённых от двух концов отрезка.

если M лежит на серединном перпендикуляре к AB, то MA = MB
Любая точка серединного перпендикуляра одинаково удалена от обоих концов отрезка.

Построение циркулем и линейкой

Серединный перпендикуляр строят так:

1. Из концов A и B одним и тем же раствором циркуля (большим половины отрезка) проводят дуги по обе стороны от отрезка.
2. Дуги пересекаются в двух точках, лежащих по разные стороны от отрезка.
3. Через эти две точки проводят прямую — это и есть серединный перпендикуляр. Он проходит через середину отрезка под прямым углом.

Применение в треугольнике

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от всех трёх вершин треугольника, поэтому она является центром окружности, описанной около треугольника. Так свойство равноудалённости находит прямое применение в важной задаче об описанной окружности.

Разобранный пример

Точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Известно, что MA = 5 см. Найдём MB.

MB = MA = 5 (см)
По свойству серединного перпендикуляра расстояния от его точки до концов отрезка равны.

Частые ошибки. Проводят перпендикуляр не через середину, а через произвольную точку отрезка — тогда свойство равноудалённости нарушается. Забывают, что перпендикуляр должен быть строго под прямым углом. Путают серединный перпендикуляр с медианой или биссектрисой.

Кратко о главном

• Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка под прямым углом.
• Каждая его точка равноудалена от концов отрезка.
• Обратно: равноудалённая от концов точка лежит на серединном перпендикуляре.
• Его строят циркулем и линейкой пересечением дуг из концов отрезка.
• Серединные перпендикуляры сторон треугольника дают центр описанной окружности.