Второй признак равенства треугольников
📏 Геометрия · 7 класс
Что утверждает второй признак
Второй признак равенства треугольников — это теорема, которая позволяет доказать равенство двух треугольников, не измеряя все их шесть элементов. Достаточно проверить всего три условия. Звучит признак так: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Слово соответственно здесь важно: равные элементы должны располагаться в одинаковом порядке. Равенство треугольников означает, что их можно наложить друг на друга так, что они совпадут целиком — каждая вершина ляжет на свою, каждая сторона на свою.
Что такое прилежащие углы
Прилежащими к стороне называют те два угла, вершины которых являются концами этой стороны. Например, к стороне AB прилежат углы A и B, потому что их вершины — это точки A и B. Угол C к стороне AB не прилежит: он лежит напротив неё.
Краткая запись
Для треугольников ABC и A_1B_1C_1 второй признак записывают так:
ЕслиAB = A_1B_1, уголAравен углуA_1и уголBравен углуB_1, то треугольникABCравен треугольникуA_1B_1C_1.
Сравнение трёх признаков
В курсе седьмого класса изучают три признака равенства треугольников. Удобно держать их перед глазами в таблице, чтобы выбирать подходящий по тому, что дано в условии задачи.
| Признак | Что должно совпадать |
|---|---|
| Первый | две стороны и угол между ними |
| Второй | сторона и два прилежащих угла |
| Третий | три стороны |
Разбор примера
Пусть отрезок проведён так, что образует два треугольника с общей стороной, и про углы при этой стороне известно, что они попарно равны.
Дано: AC — общая сторона; угол BAC = угол DAC; угол BCA = угол DCA.
Доказать: треугольник ABC = треугольник ADC.
Решение:
1. Сторона AC общая, значит AC = AC.
2. Углы при вершине A равны (по условию).
3. Углы при вершине C равны (по условию).
4. Сторона AC и два прилежащих угла равны.
Вывод: по второму признаку треугольники равны.Из равенства треугольников сразу следует равенство всех остальных соответственных элементов: AB = AD, BC = DC и угол B равен углу D. Именно ради таких выводов признак и применяют: доказав равенство треугольников, мы бесплатно получаем равенство нужных отрезков и углов.
Порядок рассуждений в задаче
- выделить два треугольника, равенство которых хотим доказать;
- найти равную сторону (часто она общая);
- проверить, что прилежащие к ней углы попарно равны;
- сослаться на второй признак;
- выписать нужное следствие из равенства треугольников.
Частая ошибка. Берут не прилежащие к стороне углы, а любые два равных угла. Признак работает только тогда, когда оба угла опираются вершинами на концы выбранной стороны. Если хотя бы один угол лежит напротив стороны, ссылаться на второй признак нельзя.
Где применяют
- в задачах на доказательство равенства отрезков и углов;
- при обосновании построений циркулем и линейкой;
- в доказательстве свойств равнобедренного треугольника;
- при построении треугольника по стороне и двум прилежащим углам.
Кратко о главном
- Второй признак: сторона и два прилежащих угла определяют треугольник однозначно.
- Прилежащие углы — те, чьи вершины лежат на концах выбранной стороны.
- Из равенства треугольников следует равенство всех соответственных сторон и углов.
- Признак часто используют, выделив общую сторону двух треугольников.