Обратная теорема
📏 Геометрия · 7 класс
Обратная теорема
Каждую теорему, записанную в виде «если …, то …», можно перевернуть: поменять местами условие и заключение. Полученное при этом новое утверждение называют обратной теоремой по отношению к исходной. Саму исходную теорему в этом случае называют прямой. Умение строить обратные теоремы помогает глубже понимать смысл изучаемых фактов.
Как построить обратную теорему
Чтобы получить обратную теорему, нужно условие прямой теоремы сделать заключением, а заключение прямой теоремы — условием. То есть то, что было дано, становится тем, что доказывают, и наоборот.
| Теорема | Условие | Заключение |
|---|---|---|
| Прямая | первое | второе |
| Обратная | второе | первое |
Важное предупреждение
Если прямая теорема верна, это совсем не значит, что обратная теорема тоже верна. Это два разных утверждения, и истинность каждого из них нужно проверять отдельно. Обратную теорему либо доказывают заново, либо опровергают, приводя контрпример — конкретный случай, где условие выполнено, а заключение нет.
Прямая (верна):
«Если углы вертикальные, то они равны».
Обратная (НЕВЕРНА):
«Если углы равны, то они вертикальные».
Контрпример: два угла по 40° могут быть
не вертикальными, а, например, соответственными.Частая ошибка. Считать обратную теорему верной только потому, что верна прямая. Это разные утверждения, и истинность каждого проверяют независимо: бывает, что прямая верна, а обратная — нет.
Когда обе теоремы верны
Существуют пары, где верны и прямая, и обратная теоремы одновременно. Хороший пример — равнобедренный треугольник:
- Прямая теорема: если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны.
- Обратная теорема: если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
Обе эти теоремы верны. Обратную из них называют признаком равнобедренного треугольника, потому что она позволяет узнать треугольник по его углам.
Связь с признаками и свойствами
Очень часто прямая теорема описывает свойство фигуры, а обратная к ней — признак этой фигуры. Свойство сообщает, что обязательно вытекает из вида фигуры. Признак, наоборот, позволяет по заданному условию установить, что фигура именно такого вида.
Зачем уметь формулировать обратное
Навык построения обратной теоремы пригодится при решении задач: иногда удобно применять не саму теорему, а обратную к ней. Но прежде чем пользоваться обратным утверждением, всегда нужно убедиться, что оно действительно доказано и верно.
Кратко о главном
- Обратная теорема получается перестановкой условия и заключения.
- Из истинности прямой теоремы не следует истинность обратной.
- Обратную теорему нужно доказывать отдельно.
- Опровергнуть обратную теорему можно контрпримером.
- Если верны обе, прямая часто даёт свойство, а обратная — признак.
- Перед применением обратного утверждения проверяют, доказано ли оно.