Неравенство треугольника
📏 Геометрия · 7 класс
Соотношения в треугольнике
В треугольнике стороны и углы связаны между собой. Чем больше угол, тем длиннее лежащая против него сторона, и наоборот. Эти зависимости приводят к важному утверждению — неравенству треугольника, которое определяет, из каких отрезков вообще можно составить треугольник.
Соотношение между сторонами и углами
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.
Например, если в треугольнике сторона a длиннее стороны b, то и угол, лежащий против a, больше угла, лежащего против b. Это правило помогает сравнивать элементы треугольника без измерений.
Неравенство треугольника
Основная теорема звучит так:
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Для сторон a, b, c это записывают тремя неравенствами:
a < b + c, b < a + c, c < a + bЭто означает, что нельзя построить треугольник из любых трёх отрезков: самый длинный отрезок должен быть короче суммы двух других. Иначе стороны просто не сомкнутся в треугольник, а лягут вдоль одной прямой или вовсе не дотянутся друг до друга.
Условие существования треугольника
| Стороны | Проверка | Существует ли треугольник |
|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 5 < 3 + 4 = 7 | Да |
| 2, 3, 6 | 6 < 2 + 3 = 5 — неверно | Нет |
| 5, 5, 5 | 5 < 5 + 5 = 10 | Да |
Пример
Можно ли построить треугольник со сторонами 7, 2 и 4? Проверим самую длинную сторону:
7 < 2 + 4 = 6 — неравенство НЕ выполняетсяЗначит, такого треугольника не существует. Если бы сумма двух меньших сторон была больше 7, треугольник можно было бы построить. Например, со сторонами 7, 5 и 4 треугольник существует, ведь 7 < 5 + 4 = 9.
Неравенство треугольника помогает решать и обратные задачи. Если известны две стороны, можно указать границы, в которых лежит третья. Третья сторона больше разности двух данных и меньше их суммы. Например, при сторонах 6 и 10 третья сторона x удовлетворяет условию 10 - 6 < x < 10 + 6, то есть 4 < x < 16. Любое значение из этого промежутка задаёт настоящий треугольник, а числа вне его — нет.
Частые ошибки. Достаточно проверить только самую длинную сторону: если она меньше суммы двух других, то и остальные неравенства выполнятся автоматически. Знак строго «меньше»: при равенстве стороны и суммы двух других отрезки лягут на одну прямую, и треугольника не будет.
Кратко о главном
- Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
- Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.
- Для существования треугольника достаточно проверить самую длинную сторону.
- При равенстве стороны и суммы двух других треугольник вырождается в отрезок.