Деление отрезка пополам
📏 Геометрия · 7 класс
Суть задачи
Деление отрезка пополам — построение середины отрезка с помощью циркуля и линейки. Серединой отрезка называют точку, которая делит его на две равные части. Важно, что транспортир и линейка с делениями для этого не нужны: построение выполняется чисто геометрически.
Задача решается через построение серединного перпендикуляра — прямой, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему. Точка пересечения этой прямой с отрезком и есть искомая середина.
Главная идея
Если из обоих концов отрезка провести дуги одинакового радиуса, они пересекутся в двух точках — по одной с каждой стороны от отрезка. Обе эти точки одинаково удалены от концов отрезка, поэтому прямая, проходящая через них, проходит точно через середину отрезка.
Точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на его серединном перпендикуляре. Поэтому прямая через две такие точки делит отрезок пополам.
Порядок действий
| Шаг | Действие |
|---|---|
| 1 | провести дугу радиуса r из конца A |
| 2 | провести дугу того же радиуса r из конца B |
| 3 | отметить точки пересечения дуг как P и Q |
| 4 | провести прямую через точки P и Q |
| 5 | точка пересечения PQ и AB — середина M |
Запись построения
Дано: отрезок AB.
1. Выбираем радиус r больше половины длины AB.
2. Проводим дугу радиуса r из точки A.
3. Проводим дугу того же радиуса r из точки B.
4. P и Q — точки пересечения дуг.
5. Проводим прямую PQ.
Результат: PQ пересекает AB в точке M, причём AM = MB.Почему построение верно
Точки P и Q одинаково удалены от A и от B, потому что построены дугами одинакового радиуса из обоих концов. Значит, обе они лежат на серединном перпендикуляре к отрезку, а он пересекает отрезок ровно в его середине. Поэтому AM = MB.
Частая ошибка. Берут радиус меньше половины отрезка — тогда дуги не пересекаются вовсе. Радиусrобязательно должен быть больше, чем половина длины отрезкаAB.
Дополнительно
- прямая
PQне только делит отрезок пополам, но и перпендикулярна ему; - так же строят центр окружности, описанной около треугольника;
- построение можно повторять, деля отрезок на 4, 8 и более равных частей.
Деление на несколько частей
Найдя середину отрезка, мы делим его на две равные части. Если затем найти середину каждой половины, отрезок разделится на четыре равные части, потом на восемь и так далее. Так циркулем и линейкой удобно делить отрезок на любое число частей, являющееся степенью двойки. Это построение часто встречается в задачах на симметрию и при разметке чертежей.
Кратко о главном
- Середину отрезка строят циркулем и линейкой через серединный перпендикуляр.
- Дуги одинакового радиуса из концов дают две равноудалённые точки.
- Радиус обязательно должен превышать половину длины отрезка.
- Полученная прямая перпендикулярна отрезку и делит его пополам.