Хорда окружности
📏 Геометрия · 7 класс
Что такое хорда
Хорда — это отрезок, соединяющий две любые точки окружности. Оба конца хорды лежат на окружности, а сама она проходит внутри круга. Хорд у окружности бесконечно много, и они бывают разной длины. Из всех хорд самая длинная та, что проходит через центр, — её называют диаметром.
Таким образом, диаметр — это частный, особый случай хорды: наибольшая из всех возможных хорд данной окружности. Любой диаметр равен двум радиусам.
Связанные понятия
Чтобы не путать отрезки, связанные с окружностью, сравним их в таблице.
| Отрезок | Определение |
|---|---|
| Хорда | соединяет две точки окружности |
| Диаметр | хорда, проходящая через центр |
| Радиус | отрезок от центра до точки окружности |
Свойства хорды
Хорда обладает несколькими важными свойствами, которые широко используют в задачах и построениях.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Равные хорды одной окружности одинаково удалены от её центра, и обратно: одинаково удалённые от центра хорды равны.
Разбор примера
Докажем, что диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Дано: окружность с центром O; хорда AB; диаметр пересекает AB под прямым углом в точке M.
Доказать: AM = MB.
Решение:
1. Соединим центр O с концами хорды: получим отрезки OA и OB.
2. OA = OB как радиусы окружности.
3. Значит треугольник AOB равнобедренный с основанием AB.
4. OM — высота, опущенная на основание.
5. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой.
Вывод: AM = MB.Зависимость длины от расстояния
Длина хорды связана с её расстоянием до центра. Чем ближе хорда к центру, тем она длиннее. Самая длинная хорда проходит через сам центр — это диаметр. Если же отодвигать хорду от центра к краю круга, она становится всё короче и в пределе вырождается в точку.
Частая ошибка. Называют хордой любой отрезок внутри круга. Хордой может быть только тот отрезок, у которого оба конца лежат на самой окружности. Отрезок, у которого хотя бы один конец внутри круга, хордой не является.
Где применяют
- при доказательстве равенства отрезков на окружности;
- в построениях, связанных с серединой дуги;
- при изучении касательной и секущей к окружности.
Хорда и дуга
Каждая хорда делит окружность на две дуги — меньшую и большую (а диаметр делит её на две равные полуокружности). Говорят, что хорда стягивает дугу. Равные хорды одной окружности стягивают равные дуги, и наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами. Эта связь между хордами и дугами важна при изучении окружности и помогает сравнивать дуги через стягивающие их отрезки, не измеряя сами дуги.
Кратко о главном
- Хорда соединяет две точки окружности.
- Диаметр — наибольшая хорда, проходящая через центр.
- Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
- Равные хорды равноудалены от центра окружности.