Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую
📏 Геометрия · 7 класс
Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую
Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую — это отрезок, который соединяет данную точку с прямой и составляет с ней прямой угол. Конец перпендикуляра на прямой называют основанием перпендикуляра. Длина этого отрезка определяет расстояние от точки до прямой.
Единственность перпендикуляра
Из точки, не лежащей на прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр. Это важное свойство: сколько бы отрезков мы ни проводили из точки к прямой, прямой угол даёт ровно один из них.
| Отрезок из точки к прямой | Угол с прямой | Длина |
|---|---|---|
| Перпендикуляр | 90° | наименьшая |
| Наклонная | не 90° | больше перпендикуляра |
Перпендикуляр и наклонная
Любой другой отрезок, проведённый из той же точки к прямой, называют наклонной. Перпендикуляр всегда короче любой наклонной, проведённой из той же точки. Поэтому именно длину перпендикуляра принимают за расстояние от точки до прямой.
Из точки A к прямой a проведены:
перпендикуляр AH (AH ⊥ a, H на прямой),
наклонная AB (B на прямой).
Тогда AH < AB.Как построить перпендикуляр
Перпендикуляр из точки на прямую строят циркулем и линейкой. Сначала из данной точки проводят дугу, пересекающую прямую в двух точках, затем из этих точек — две одинаковые дуги. Прямая через точку и точку пересечения дуг и будет искомым перпендикуляром.
- Перпендикуляр составляет с прямой угол
90°. - Основание перпендикуляра лежит на прямой.
- Из одной точки на прямую опускается только один перпендикуляр.
Запомни. Расстоянием от точки до прямой называют именно длину перпендикуляра, а не любого отрезка до прямой. Это наименьшее из всех расстояний от точки до точек прямой.
Почему перпендикуляр короче наклонной
Это свойство доказывают с помощью прямоугольного треугольника. Перпендикуляр и наклонная вместе с отрезком прямой образуют прямоугольный треугольник, в котором перпендикуляр является катетом, а наклонная — гипотенузой. Гипотенуза в прямоугольном треугольнике всегда длиннее любого катета. Значит, перпендикуляр короче наклонной. Чем дальше основание наклонной от основания перпендикуляра, тем длиннее сама наклонная.
- Перпендикуляр — катет прямоугольного треугольника.
- Наклонная — гипотенуза этого треугольника.
- Гипотенуза длиннее катета, поэтому наклонная длиннее перпендикуляра.
Где это применяется
Перпендикуляр из точки на прямую используют для нахождения высоты треугольника, для измерения расстояний и при доказательстве многих теорем о равенстве и неравенстве отрезков. Понятие расстояния от точки до прямой нужно и для определения расстояния между параллельными прямыми.
Кратко о главном
- Перпендикуляр из точки на прямую даёт прямой угол.
- Из точки опускается единственный перпендикуляр.
- Перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки.
- Его длина — это расстояние от точки до прямой.