Равные углы и способы их сравнения
📏 Геометрия · 7 класс
Равные углы и их сравнение
Два угла называют равными, если при наложении одного на другой они полностью совмещаются: вершина ложится на вершину, а стороны — на стороны. Равенство углов совершенно не зависит от длины их сторон, ведь стороны угла — это лучи, то есть линии бесконечной длины. Важно только то, насколько широко расходятся стороны.
Сравнение наложением
Чтобы сравнить два угла, мысленно совмещают их вершины и одну пару сторон, направив их в одну сторону. После этого смотрят, как расположились вторые стороны. Возможны ровно три случая, и каждый даёт свой вывод.
| Что видим при наложении | Вывод |
|---|---|
| Вторые стороны совпали | Углы равны |
| Сторона первого внутри второго | Первый угол меньше |
| Сторона первого вне второго | Первый угол больше |
Сравнение по градусной мере
На практике удобнее сравнивать углы по их градусной мере — числу, которое показывает величину угла и измеряется транспортиром. Два угла равны тогда и только тогда, когда равны их градусные меры. Это даёт простой числовой способ сравнения.
угол A = угол B ⇔ мера(A) = мера(B)
Пример: угол A = 47°, угол B = 47°
⇒ углы равны
Пример: угол A = 50°, угол B = 35°
⇒ угол A больше угла BГде встречаются равные углы
Равные углы появляются во многих важных фактах геометрии 7 класса. Вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны; накрест лежащие углы при двух параллельных прямых и секущей тоже равны. Все эти утверждения опираются на одно и то же понятие равенства углов.
Частая ошибка. Думать, что угол с длинными сторонами «больше» угла с короткими сторонами. Длина сторон вообще не влияет на величину угла: важно только то, насколько стороны расходятся друг от друга у вершины.
Откладывание равного угла
От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол, равный данному, и притом только один. Это свойство используют при построениях циркулем и линейкой, когда нужно «перенести» угол в другое место чертежа, сохранив его величину.
Биссектриса делит на равные углы
Луч, выходящий из вершины и делящий угол на два равных угла, называют биссектрисой. Если луч OC — биссектриса угла AOB, то угол AOC = угол COB, и каждый из них равен половине исходного угла. Биссектриса наглядно показывает, как из одного угла получаются два равных между собой угла.
Виды углов по величине
Равные углы могут быть любой величины. Угол меньше 90° называют острым, угол ровно в 90° — прямым, а угол между 90° и 180° — тупым. Если два угла равны, то они обязательно относятся к одному и тому же виду: два равных острых, два равных прямых или два равных тупых угла. По одному только виду равенство установить нельзя, но равные углы всегда одного вида.
Кратко о главном
- Углы равны, если совмещаются при наложении.
- Равенство углов не зависит от длины сторон.
- Углы равны тогда и только тогда, когда равны их градусные меры.
- Сравнивать углы можно наложением или по мере.
- От луча можно отложить угол, равный данному.
- Биссектриса делит угол на два равных угла.