Аксиомы геометрии
📏 Геометрия · 7 класс
Аксиомы геометрии
Аксиома — это утверждение, которое принимают за истинное без доказательства. Аксиомы служат основой всей геометрии: именно из них логически выводят все остальные факты, то есть теоремы. Слово постулат в математике означает примерно то же самое, что и аксиома. Аксиомы выбирают так, чтобы они были простыми и не вызывали сомнений.
Зачем нужны аксиомы
Доказать абсолютно всё невозможно. Любое доказательство опирается на какие-то более ранние факты, а те — на ещё более ранние. Если бы у этой цепочки не было начала, она тянулась бы бесконечно. Чтобы рассуждения где-то начинались, математики выбирают несколько простых и очевидных утверждений и принимают их без доказательства. Эти отправные утверждения и есть аксиомы.
Основные аксиомы 7 класса
| Аксиома | Что утверждает |
|---|---|
| О прямой | Через две точки проходит единственная прямая |
| О сравнении | Любые два отрезка или два угла можно сравнить |
| Об откладывании | От луча можно отложить отрезок данной длины и угол данной меры |
| О параллельных | Через точку вне прямой проходит только одна параллельная ей прямая |
Пример рассуждения
Дано: две точки A и B.
Аксиома: через A и B проходит единственная прямая.
Вывод: прямая AB определена однозначно,
другой прямой через A и B провести нельзя.Правило. Аксиому внутри геометрии не доказывают и не оспаривают — её принимают как отправную точку рассуждений. А вот любую теорему доказывать обязательно, опираясь в том числе на аксиомы.
Чем аксиома отличается от теоремы
Главное различие между ними — в способе обоснования. Аксиому принимают без доказательства, а теорему обязательно выводят из аксиом и уже доказанных теорем. Например, утверждение «через две точки проходит прямая» — это аксиома, а утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» — это теорема, которую подробно доказывают на уроке.
Историческая справка
Стройную систему аксиом для геометрии впервые подробно изложил древнегреческий математик Евклид примерно две с половиной тысячи лет назад в своём труде «Начала». Он показал, как из небольшого набора аксиом можно вывести огромное число теорем. Поэтому привычную школьную геометрию называют евклидовой — в честь этого учёного.
Почему аксиом немного
Математики стараются обходиться как можно меньшим числом аксиом. Чем меньше утверждений принято без доказательства, тем надёжнее вся постройка: достаточно убедиться в очевидности нескольких аксиом, и всё остальное будет доказано строго.
Кратко о главном
- Аксиома — утверждение, принимаемое без доказательства.
- Аксиомы — основа, из которой выводят все теоремы.
- Через две точки проходит единственная прямая.
- Через точку вне прямой проходит одна параллельная прямая.
- Теорему, в отличие от аксиомы, обязательно доказывают.
- Школьную геометрию называют евклидовой.