Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение двух окружностей зависит от того, как соотносятся расстояние между их центрами и их радиусы. Возможны несколько случаев: окружности пересекаются, касаются или не имеют общих точек. Различать их помогает простое сравнение чисел.

Основные случаи

Пусть радиусы окружностей равны R и r, а расстояние между центрами равно d. От соотношения этих величин зависит число общих точек.

Касание окружностей

Если окружности имеют ровно одну общую точку, говорят, что они касаются. Касание бывает внешним, когда окружности расположены одна вне другой, и внутренним, когда одна лежит внутри другой. В точке касания центры и эта точка лежат на одной прямой.

Линия центров

Прямую, проходящую через центры двух окружностей, называют линией центров. Точки касания и точки пересечения связаны с этой линией. При касании точка касания лежит на линии центров.

• Две общие точки — окружности пересекаются.
• Одна общая точка — окружности касаются.
• Нет общих точек — окружности не пересекаются.
• Точка касания лежит на линии центров.

Запомни. Чтобы определить расположение, сравни расстояние между центрами с суммой и разностью радиусов. Только эти два числа — R + r и R − r — задают все границы случаев.

Особые случаи

Возможны и крайние ситуации. Если расстояние между центрами равно нулю, центры совпадают, и окружности называют концентрическими — у них общий центр, но разные радиусы. Если же при этом совпадают и радиусы, окружности полностью совпадают. Когда одна окружность целиком лежит внутри другой и не касается её, общих точек тоже нет, хотя окружности расположены не внешне, а одна внутри другой.

• Совпадают центры — окружности концентрические.
• Совпадают центры и радиусы — окружности совпадают.
• Одна окружность внутри другой без касания — общих точек нет.

Где применяется

Расположение окружностей используют в задачах на построение, при изучении вписанных и описанных фигур, а также в технике — например, при расчёте зубчатых колёс и шкивов. Умение сравнивать расстояние между центрами с радиусами помогает быстро определить число точек пересечения.

Кратко о главном

• Расположение окружностей зависит от d, R и r.
• При d = R + r или d = R − r окружности касаются.
• При R − r < d < R + r окружности пересекаются в двух точках.
• Точка касания всегда лежит на линии центров.