Признаки параллельности прямых
📏 Геометрия · 7 класс
Прямые и секущая
Если две прямые пересечены третьей прямой, то третью прямую называют секущей. При этом образуются восемь углов, среди которых выделяют особые пары: накрест лежащие, односторонние и соответственные. Эти названия указывают на взаимное расположение углов относительно секущей и двух прямых.
Пары углов помогают установить, параллельны ли прямые, ещё до построения и измерения. Каждый признак — это условие, при выполнении которого прямые обязательно параллельны. Признаки параллельности — фундамент целого раздела геометрии семидесятого класса.
Какие бывают пары углов
- Накрест лежащие углы лежат по разные стороны от секущей между прямыми.
- Односторонние углы лежат по одну сторону от секущей между прямыми.
- Соответственные углы лежат по одну сторону от секущей, но один над прямой, другой под прямой.
Три признака параллельности
- По накрест лежащим углам. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
- По соответственным углам. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
- По односторонним углам. Если сумма односторонних углов равна
180градусам, то прямые параллельны.
Главная идея. Все три признака равносильны: достаточно выполнения любого одного из них, чтобы прямые были параллельны.
Виды пар углов
| Пара углов | Условие параллельности |
|---|---|
| Накрест лежащие | равны |
| Соответственные | равны |
| Односторонние | сумма 180° |
Разбор примера
Секущая пересекает две прямые. Один из накрест лежащих углов равен 65°, а другой тоже 65°. Параллельны ли прямые?
Так как накрест лежащие углы равны (65 = 65), по первому признаку прямые параллельны.
Проверим тот же случай через односторонние углы. Односторонний угол к данному равен 180 − 65 = 115°, а второй односторонний равен 65°. Их сумма равна 115 + 65 = 180° — признак тоже выполнен. Получили один и тот же вывод двумя способами, и это подтверждает равносильность признаков. На практике обычно выбирают тот признак, для которого в условии задачи уже даны нужные углы, чтобы не выполнять лишних вычислений. Если же даны соответственные углы, удобнее воспользоваться вторым признаком и проверить их равенство.
Частые ошибки. Не путайте односторонние углы (их сумма 180°) с накрест лежащими (они равны). Признак работает только при наличии секущей, пересекающей обе прямые. Нельзя применять признак к углам, образованным разными секущими.Кратко о главном
- Секущая пересекает две прямые и образует восемь углов.
- Прямые параллельны, если накрест лежащие углы равны.
- Прямые параллельны, если соответственные углы равны.
- Прямые параллельны, если сумма односторонних углов равна
180°. - Все три признака равносильны между собой.