Построение треугольника по трём сторонам
📏 Геометрия · 7 класс
Постановка задачи
Построение треугольника по трём сторонам — одна из основных задач на построение циркулем и линейкой. Даны три отрезка с длинами a, b и c; требуется построить треугольник, стороны которого равны этим отрезкам. Никакими измерительными приборами с делениями пользоваться нельзя — только циркуль и линейка без шкалы.
Чтобы такой треугольник вообще существовал, длины сторон должны удовлетворять неравенству треугольника: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других. Если это условие нарушено, построить треугольник невозможно.
Идея построения
Сначала одну из сторон откладывают на прямой. Две другие стороны определяют положение третьей вершины: она лежит на пересечении двух окружностей, радиусы которых равны этим сторонам.
Третья вершина треугольника находится там, где пересекаются окружность радиусаbс центром в одном конце отложенной стороны и окружность радиусаaс центром в другом её конце.
Порядок действий
Удобно представить построение в виде последовательности шагов.
| Шаг | Действие |
|---|---|
| 1 | отложить на прямой отрезок AB = c |
| 2 | провести дугу радиуса b с центром в точке A |
| 3 | провести дугу радиуса a с центром в точке B |
| 4 | отметить точку пересечения дуг как C |
| 5 | соединить C с точками A и B |
Запись построения
Дано: отрезки a, b, c.
Условие существования: a < b + c, b < a + c, c < a + b.
1. На прямой откладываем отрезок AB длиной c.
2. Строим окружность с центром A и радиусом b.
3. Строим окружность с центром B и радиусом a.
4. Берём точку C — пересечение окружностей.
5. Соединяем отрезками AC и BC.
Результат: треугольник ABC, где AB = c, AC = b, BC = a.Обоснование построения
Почему получился именно нужный треугольник? Это следует прямо из определения окружности как множества точек на заданном расстоянии от центра.
AC = b, потому что точкаCлежит на окружности радиусаbс центромA;BC = a, потому что точкаCлежит на окружности радиусаaс центромB;AB = cпо построению.
Частая ошибка. Не проверяют неравенство треугольника перед построением. Если одна сторона не меньше суммы двух других, окружности либо не пересекутся вовсе, либо коснутся в одной точке, и настоящего треугольника не получится.
Сколько решений у задачи
Две окружности при выполненном неравенстве треугольника пересекаются в двух точках — выше и ниже прямой. Обе дают треугольник с теми же сторонами, и эти треугольники равны между собой по третьему признаку, отличаясь лишь зеркальным отражением. Поэтому считают, что задача имеет единственное решение с точностью до расположения на плоскости. Если же неравенство треугольника не выполнено, решений нет совсем.
Похожие задачи на построение
- построение треугольника по двум сторонам и углу между ними;
- построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам;
- построение равнобедренного и равностороннего треугольников.
Кратко о главном
- Треугольник по трём сторонам строят циркулем и линейкой.
- Одну сторону откладывают, две другие задают вершину пересечением дуг.
- Длины сторон должны удовлетворять неравенству треугольника.
- Правильность построения следует из определения окружности.