Что такое теорема и доказательство

Что такое теорема и доказательство

В геометрии не всякое верное утверждение принимают на веру. Большинство фактов нужно доказывать — то есть обосновывать строгим рассуждением. Утверждение, истинность которого устанавливают доказательством, называют теоремой. Именно теоремы составляют основное содержание школьного курса геометрии.

Из чего состоит теорема

Любую теорему можно записать в виде «если …, то …». Часть, идущую после слова если, называют условием теоремы — это то, что нам дано. Часть после слова то называют заключением — это то, что требуется доказать. Иногда формулировку записывают другими словами, но смысл условия и заключения всегда можно выделить.

Пример разбора

Теорема: «Если углы вертикальные, то они равны».
Условие:    углы вертикальные
Заключение: эти углы равны

Что такое доказательство

Доказательство — это цепочка верных логических рассуждений, которая ведёт от условия к заключению. На каждом шаге доказательства опираются на аксиомы, определения или на уже доказанные ранее теоремы. Нельзя ссылаться на сам чертёж как на доказательство: рисунок только помогает понять задачу и наглядно её представить, но сам ничего не доказывает. То, что верно на одном рисунке, может оказаться неверным на другом.

Правило. Доказать теорему — значит логически вывести заключение из условия, опираясь на уже известные факты. Проверка утверждения на одном или нескольких примерах доказательством не является, ведь нельзя перебрать все возможные случаи.

Аксиомы и теоремы

Некоторые самые простые и очевидные утверждения принимают без доказательства — их называют аксиомами. Все остальные факты выводят из аксиом. Так и строится вся геометрия: от небольшого числа аксиом постепенно переходят к множеству теорем, всё более сложных и интересных.

Следствие

Утверждение, которое легко и быстро получается из уже доказанной теоремы, называют следствием. Например, из теоремы о сумме углов треугольника сразу следует, что у прямоугольного треугольника сумма двух острых углов равна 90°. Следствие не требует длинного отдельного доказательства — оно вытекает из основной теоремы почти очевидно.

Как оформляют доказательство

В тетради доказательство обычно начинают со слов «Дано» и «Доказать», где записывают условие и заключение в краткой форме. Затем строят чертёж и ведут рассуждение, ссылаясь на известные факты. Завершают доказательство выводом, что заключение получено.

Кратко о главном

• Теорема — утверждение, которое доказывают.
• Теорема состоит из условия (что дано) и заключения (что доказать).
• Доказательство — цепочка рассуждений от условия к заключению.
• Опираться можно на аксиомы, определения и доказанные теоремы.
• Чертёж и единичный пример доказательством не являются.
• Следствие легко выводится из уже доказанной теоремы.