Построение угла, равного данному
📏 Геометрия · 7 класс
Зачем нужно построение
Построение угла, равного данному, — одна из базовых задач на построение циркулем и линейкой. По заданному углу нужно построить новый угол точно такой же величины при выбранной вершине, не пользуясь транспортиром. Фактически мы переносим угол в другое место чертежа без измерения его градусной меры.
Это построение лежит в основе многих других: переноса углов в сложных чертежах, построения параллельных прямых, построения треугольника по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому важно понять его до конца.
Главная идея
Любой угол можно задать треугольником, который из него вырезается. Если дугой одинакового радиуса отметить точки на сторонах исходного угла, а затем перенести расстояние между этими точками на новое место, угол скопируется абсолютно точно.
Равные хорды равных дуг стягивают равные углы. На этом и основан перенос угла: одинаковые дуги и одинаковые расстояния дают одинаковые углы.
Порядок действий
| Шаг | Действие |
|---|---|
| 1 | провести луч с началом в новой вершине |
| 2 | дугой радиуса r отметить точки на сторонах данного угла |
| 3 | той же дугой радиуса r отметить точку на новом луче |
| 4 | измерить циркулем расстояние между точками на исходном угле |
| 5 | отложить это расстояние на новой дуге и провести второй луч |
Запись построения
Дано: угол A; луч с началом в точке O.
1. Дуга радиуса r из вершины A пересекает стороны угла в точках B и C.
2. Дуга того же радиуса r из точки O пересекает луч в точке D.
3. Раствором циркуля, равным BC, из точки D делаем засечку E на дуге.
4. Проводим луч OE.
Результат: угол DOE равен углу A.Почему построение верно
Обоснование опирается на третий признак равенства треугольников.
- отрезки
ABиODравны, потому что это радиусы одинаковых дуг; - отрезки
ACиOEравны по той же причине; - отрезки
BCиDEравны, потому что мы перенесли расстояние циркулем; - треугольники
ABCиODEравны по трём сторонам, значит угол приOравен углу приA.
Частая ошибка. Меняют радиус дуги между построениями. Радиус r должен быть одним и тем же при отметке точек на исходном и на новом угле, иначе углы не совпадут.Где применяют построение
Перенос угла нужен не только сам по себе. На нём основано построение параллельных прямых: чтобы провести прямую, параллельную данной, откладывают равные соответственные углы при секущей. Также перенос угла используют при построении треугольника по стороне и двум прилежащим углам, когда оба угла переносят к концам отложенной стороны.
- построение параллельных прямых через равные углы;
- построение треугольника по стороне и двум углам;
- копирование сложных фигур по частям.
Кратко о главном
- Угол переносят циркулем и линейкой через равные треугольники.
- Радиус вспомогательной дуги одинаков для обоих углов.
- Расстояние между засечками задаёт величину угла.
- Равенство углов доказывается третьим признаком равенства треугольников.