Построение перпендикуляра к прямой
📏 Геометрия · 7 класс
Что требуется построить
Построение перпендикуляра к прямой — задача, в которой через данную точку нужно провести прямую, перпендикулярную заданной. Различают два случая: когда точка лежит на самой прямой и когда точка лежит вне прямой. В обоих случаях используют циркуль и линейку без шкалы.
Напомним: перпендикуляр — это прямая, которая пересекает данную под прямым углом, то есть под углом 90 градусов. Знак перпендикулярности обозначают как ⊥.
Главная идея
Перпендикуляр строят с помощью двух равных окружностей или дуг. Их центры лежат на прямой, а точки пересечения дуг оказываются одинаково удалёнными от выбранных точек прямой и потому задают серединный перпендикуляр.
Любая точка, равноудалённая от двух точек прямой, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку между ними, а значит, на перпендикуляре к самой прямой.
Два случая
| Случай | Особенность построения |
|---|---|
| Точка на прямой | от точки откладывают равные отрезки в обе стороны |
| Точка вне прямой | дугой из точки отмечают две точки на прямой |
Запись построения (точка вне прямой)
Дано: прямая a; точка M вне прямой.
1. Дуга из точки M пересекает прямую a в точках A и B.
2. Дуги одинакового радиуса из точек A и B пересекаются в точке N.
3. Проводим прямую через точки M и N.
Результат: прямая MN перпендикулярна прямой a.Почему построение верно
Точки M и N одинаково удалены от точек A и B. Значит, обе они лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Прямая, проходящая через две точки серединного перпендикуляра, и есть сам серединный перпендикуляр, а он по определению перпендикулярен прямой a.
Случай точки на прямой
- от точки
Mна прямой откладываем циркулем равные отрезки в обе стороны, получаем точкиAиB; - из
AиBпроводим дуги одинакового радиуса до пересечения в точкеN; - прямая
MNперпендикулярна данной.
Частая ошибка. Берут слишком маленький раствор циркуля, и дуги не пересекаются. Радиус должен быть больше половины расстояния между точкамиAиB, иначе построение не получится.
Где применяют
- при построении высоты треугольника;
- при нахождении расстояния от точки до прямой;
- в построении серединного перпендикуляра к отрезку.
Перпендикуляр и наклонная
Из точки вне прямой можно провести к ней не только перпендикуляр, но и сколько угодно наклонных. Перпендикуляр среди них единственный, и он самый короткий: длина перпендикуляра равна расстоянию от точки до прямой. Любая наклонная длиннее перпендикуляра. Поэтому, чтобы измерить расстояние от точки до прямой, сначала строят именно перпендикуляр, а затем измеряют его длину.
Кратко о главном
- Перпендикуляр пересекает прямую под углом 90 градусов.
- Строят его двумя равными дугами с помощью циркуля и линейки.
- Различают случаи: точка на прямой и точка вне прямой.
- Обоснование опирается на свойство точек, равноудалённых от концов отрезка.