Касательная к окружности
📏 Геометрия · 7 класс
Прямая и окружность
Прямая и окружность могут располагаться на плоскости по-разному. Возможны три случая: прямая не имеет с окружностью общих точек, прямая имеет две общие точки или прямая имеет ровно одну общую точку. Каждый случай связан с тем, насколько далеко прямая проходит от центра окружности по сравнению с радиусом.
Определение. Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Эта общая точка называется точкой касания.
Если прямая пересекает окружность в двух точках, её называют секущей. А если общих точек нет, прямая проходит вне окружности.
Свойство касательной
Теорема (свойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Это означает, что радиус и касательная в точке касания образуют прямой угол 90°. Свойство объясняет, почему касательная «не входит» внутрь окружности: радиус в точке касания — кратчайшее расстояние от центра до касательной.
Признак касательной
Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной.
Свойство и признак взаимно обратны и вместе полностью описывают касательную. По свойству из касательной выводят перпендикулярность, а по признаку из перпендикулярности выводят, что прямая касательная.
Случаи взаимного расположения
| Число общих точек | Название прямой |
|---|---|
| 0 | не пересекает окружность |
| 1 | касательная |
| 2 | секущая |
Разбор примера
Прямая касается окружности в точке K, радиус проведён в эту же точку. Найдём угол между радиусом и касательной.
По свойству касательной радиус перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому искомый угол равен 90°. Если же в задаче дополнительно проведена хорда из точки касания, то углы между касательной и хордой находят, опираясь на тот же прямой угол между радиусом и касательной. Полезно помнить ещё один факт: отрезки касательных, проведённых к окружности из одной внешней точки, равны между собой. Это свойство часто используют в задачах, где из точки вне окружности проведены две касательные.
Частые ошибки. Не путайте касательную (одна общая точка) с секущей (две общие точки). Перпендикулярность выполняется именно в точке касания, а не в произвольной точке прямой или окружности. Радиус нужно проводить в саму точку касания, иначе свойство неприменимо.
Кратко о главном
- Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку.
- Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.
- Если прямая перпендикулярна радиусу на его конце, она касательная.
- Секущая пересекает окружность в двух точках.
- Угол между радиусом и касательной в точке касания равен
90°.