Деление нацело и кратные числа
🔢 Математика · 5 класс
Деление без остатка
Говорят, что одно число делится нацело на другое, если при делении не остаётся остатка. Например, 12 делится нацело на 3, потому что 12 : 3 = 4 и ничего лишнего не остаётся. А вот 13 на 3 нацело не делится: получается 13 : 3 = 4 и остаток 1. Умение определять, делится ли число нацело, помогает сокращать дроби, искать общие делители и решать задачи на распределение поровну.
Если число a делится нацело на число b, то говорят, что a — кратное числа b, а b — делитель числа a. Эти два слова — кратное и делитель — описывают одну и ту же связь с разных сторон.
Кратные числа
Кратные данного числа — это числа, которые получаются при умножении его на 1, 2, 3 и так далее. Кратных у любого числа бесконечно много, потому что умножать можно сколько угодно раз.
Кратные числа 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...
Правило: наименьшее кратное любого числа — само это число (оно равно числу, умноженному на 1). А самого большого кратного не существует, ведь множитель можно увеличивать бесконечно.
Делители числа
Делители числа — это числа, на которые оно делится нацело. В отличие от кратных, делителей у каждого числа конечное количество: их всегда можно перечислить полностью.
| Число | Все его делители | Сколько делителей |
|---|---|---|
| 6 | 1, 2, 3, 6 | 4 |
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 6 |
| 7 | 1, 7 | 2 |
Самый маленький делитель любого числа — единица, ведь на 1 делится всё. Самый большой делитель — само число, ведь оно делится само на себя.
Разбор примера
Проверим, делится ли 84 нацело на 6. Для этого выполним деление и посмотрим на остаток.
84 : 6 = 14, остаток 0
Остаток равен нулю, значит 84 делится на 6 нацело. Эту же мысль можно высказать иначе: 84 — кратное числа 6, а 6 — делитель числа 84. Так одно вычисление сразу показывает обе связи между числами.
Где это пригодится
Понятия делителя и кратного нужны во многих задачах. Когда мы раскладываем конфеты по пакетам поровну, мы по сути ищем делители числа конфет. Когда подбираем общий знаменатель для дробей, мы ищем общее кратное знаменателей. А чтобы сократить дробь, нужно найти число, на которое и числитель, и знаменатель делятся нацело, то есть их общий делитель.
Полезно запомнить и несколько простых наблюдений. Любое число всегда делится само на себя и на единицу. Чётные числа всегда делятся нацело на 2. Если число оканчивается нулём, оно делится нацело и на 2, и на 5, и на 10. Эти признаки помогают быстро, без деления в столбик, понять, делится число нацело или нет.
Частые ошибки: путать делители и кратные. Делители — это небольшие числа, на которые делят (их всегда немного); кратные — это числа, которые получают умножением (их бесконечно много).
Кратко о главном
- Число делится нацело, если остаток при делении равен нулю.
- Кратное получают умножением числа на 1, 2, 3 и так далее — их бесконечно много.
- Делители — числа, на которые данное число делится нацело, их конечное количество.
- Наименьший делитель любого числа — 1, наибольший — само число.