Простые и составные числа
🔢 Математика · 5 класс
Простые и составные числа
Простое число — это натуральное число больше единицы, которое делится без остатка только на единицу и на само себя. Составное число — это натуральное число, у которого, кроме единицы и самого себя, есть и другие делители. Деление всех натуральных чисел на простые и составные помогает понять внутреннее устройство чисел и из каких множителей они складываются. Это одна из самых важных тем при подготовке к работе с дробями и делимостью.
Разбираем примеры
Число 7 делится без остатка только на 1 и на 7, других делителей у него нет, поэтому оно простое. Число 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12 — у него целых шесть делителей, значит, оно составное. Чтобы определить вид числа, достаточно перечислить все его делители.
| Число | Делители | Вид |
|---|---|---|
| 2 | 1, 2 | простое |
| 9 | 1, 3, 9 | составное |
| 13 | 1, 13 | простое |
| 15 | 1, 3, 5, 15 | составное |
| 17 | 1, 17 | простое |
Особые случаи
Число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам: у него есть всего один делитель — оно само. Это особое число, которое стоит отдельно. Число 2 — единственное чётное простое число, потому что все остальные чётные числа делятся ещё и на 2, а значит, у них появляется лишний делитель и они становятся составными. Все простые числа, кроме двойки, обязательно нечётные.
Правило. Чтобы проверить, простое ли данное число, его последовательно делят на простые числа: сначала на 2, потом на 3, на 5, на 7 и так далее. Если ни одно из этих делений не выполняется без остатка, число простое. Проверку достаточно вести до тех пор, пока квадрат делителя не превысит само число.
Как проверить число
Проверим, простое ли число 29. Будем делить его на простые числа по очереди.
29 : 2 — с остатком
29 : 3 — с остатком
29 : 5 — с остатком
делителей нет → 29 простоеА число 21 при проверке делится на 3 без остатка, ведь 21 : 3 = 7. Значит, у числа 21 есть лишний делитель, и оно составное. Достаточно найти всего один такой делитель, чтобы сразу сделать вывод о составности числа.
Простых чисел бесконечно много, и это давно доказано математиками. Первые простые числа полезно знать наизусть: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Они очень часто встречаются в задачах на делимость, сокращение дробей и поиск общих делителей. Чтобы быстрее находить простые числа, можно пользоваться признаками делимости: если число чётное, оно делится на 2 и уже не простое, кроме самой двойки. Если сумма цифр делится на 3, то и число делится на 3. Если число оканчивается на 0 или 5, оно делится на 5. Эти признаки помогают сразу отбросить многие составные числа и не тратить время на лишние проверки.
Кратко о главном
- Простое число имеет ровно два делителя: единицу и само себя.
- Составное число имеет более двух делителей.
- Число 1 не простое и не составное.
- Число 2 — единственное чётное простое число.
- Чтобы проверить число, его делят на простые числа по очереди.
- Достаточно одного лишнего делителя, чтобы число оказалось составным.