Развёртка прямоугольного параллелепипеда
🔢 Математика · 5 класс
Что такое развёртка
Развёртка прямоугольного параллелепипеда — это плоская фигура, которая получается, если разрезать поверхность коробки по некоторым рёбрам и разложить все её грани на плоскости. Если такую развёртку аккуратно вырезать из бумаги и согнуть по линиям сгиба, снова получится объёмная коробка. Развёртка помогает понять, из каких частей состоит поверхность тела, и удобно вычислить площадь этой поверхности, ведь все грани оказываются перед глазами одновременно.
В быту с развёртками мы встречаемся постоянно: так делают картонные коробки для сока, упаковки для конфет и подарочные коробочки. На фабрике сначала печатают плоскую заготовку, а покупатель уже сам складывает её в объёмную форму.
Из чего состоит параллелепипед
У прямоугольного параллелепипеда есть три измерения: длина, ширина и высота. Обозначим их a, b и c. Поверхность состоит из шести прямоугольных граней, которые попарно равны между собой: нижняя грань равна верхней, передняя — задней, левая — правой. Поэтому в развёртке встречаются прямоугольники трёх разных видов, каждый по два раза.
| Элемент | Сколько | Описание |
|---|---|---|
| Грани | 6 | попарно равные прямоугольники |
| Рёбра | 12 | по 4 ребра каждой длины |
| Вершины | 8 | углы коробки |
Площадь поверхности
Чтобы найти площадь полной поверхности, нужно сложить площади всех шести граней. Площадь каждой грани — это произведение её сторон. Так как грани попарно равны, удобнее сложить площади трёх разных граней и удвоить результат:
S = 2·(a·b + b·c + a·c)
Здесь a·b — площадь нижней грани, b·c — боковой, a·c — передней. Множитель 2 учитывает, что у каждой грани есть равная ей пара.
Разобранный пример
Пусть длина a = 5 см, ширина b = 3 см, высота c = 4 см. Тогда выполним вычисления по действиям:
S = 2·(5·3 + 3·4 + 5·4) = 2·(15 + 12 + 20) = 2·47 = 94 квадратных сантиметра.
Именно столько бумаги уйдёт на оклейку такой коробки без учёта припусков на склейку. Если бы нас спросили про объём, мы посчитали бы иначе: V = a·b·c = 5·3·4 = 60 кубических сантиметров.
Частые ошибки. Не путайте площадь поверхности с объёмом: площадь измеряется в квадратных единицах, а объём — в кубических. Ещё одна ошибка — посчитать только три грани и забыть умножить на два, ведь противоположные грани тоже входят в поверхность. И помните, что у развёртки должно быть ровно шесть прямоугольников, не больше и не меньше.
Как проверить развёртку
Правильная развёртка коробки содержит ровно шесть прямоугольников, соединённых сторонами. Если мысленно сложить фигуру по линиям сгиба, противоположные грани не должны накладываться друг на друга, и не должно оставаться открытых отверстий. У одного и того же параллелепипеда бывает несколько разных развёрток в зависимости от того, по каким рёбрам мы его разрезали. Например, у куба существует целых одиннадцать различных развёрток.
Кратко о главном
- Развёртка — это плоская фигура из шести прямоугольников, из которой собирается коробка.
- У параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
- Площадь полной поверхности:
S = 2·(a·b + b·c + a·c). - Площадь измеряется в квадратных единицах, объём — в кубических.
- У одного тела может быть несколько разных правильных развёрток.