Перебор вариантов и комбинаторика
🔢 Математика · 5 класс
Перебор вариантов и комбинаторика
Комбинаторика — это раздел математики, где считают, сколькими способами можно что-то выбрать, расставить или соединить. В пятом классе главный приём — перебор вариантов: мы аккуратно перечисляем все возможные случаи, а затем пересчитываем их. Перебор не требует формул, нужны только внимательность и порядок.
Полный перебор по системе
Чтобы не потерять и не повторить ни одного варианта, перебор ведут по строгому порядку. Сначала фиксируют первый предмет и перечисляют все случаи с ним, затем берут второй предмет и снова перечисляют все случаи. Такой организованный счёт гораздо надёжнее, чем перечисление наугад, где легко что-нибудь пропустить.
Правило: перебирай варианты по системе — слева направо, от меньшего к большему. Тогда ни один способ не будет упущен и ни один не повторится дважды.
Разобранный пример
У Маши три футболки — белая, синяя и красная — и две юбки — чёрная и серая. Сколько разных нарядов можно составить? Переберём наряды по футболкам.
белая + чёрная, белая + серая
синяя + чёрная, синяя + серая
красная + чёрная, красная + серая
всего: 3 * 2 = 6 нарядовПеребор дал шесть пар, и это совпадает с произведением 3 на 2. В этом и состоит правило умножения: если первый предмет можно выбрать одним из трёх способов, а второй — одним из двух, то вместе это 3 умножить на 2 способа.
Дерево вариантов
Очень удобный способ перебора — нарисовать дерево. От каждой футболки проводят по ветке к каждой юбке. Число концов всех веток и есть число вариантов. Дерево помогает увидеть структуру выбора и не запутаться.
| Футболка | Юбка | Номер наряда |
|---|---|---|
| Белая | Чёрная | 1 |
| Белая | Серая | 2 |
| Синяя | Чёрная | 3 |
| Синяя | Серая | 4 |
| Красная | Чёрная | 5 |
| Красная | Серая | 6 |
Когда работает правило умножения
Правило умножения применяют, когда выборы не зависят друг от друга: любую футболку можно надеть с любой юбкой. Если же выбор второго предмета зависит от первого, перебор делают особенно аккуратно, иногда без умножения. В пятом классе чаще встречаются именно независимые выборы. Правило умножения легко обобщается на три и более выбора: если к нарядам добавить выбор из двух пар обуви, общее число вариантов станет 3 * 2 * 2 = 12.
Где это пригодится
Перебор вариантов нужен при составлении расписаний, при подсчёте возможных маршрутов, при выборе блюд из меню. Везде, где надо узнать число способов сделать выбор, помогает либо аккуратный перебор, либо правило умножения. Главное — действовать по системе и проверять, не потерян ли какой-нибудь случай.
Частые ошибки: перечисляют варианты беспорядочно и теряют часть из них; считают разными наряды, отличающиеся только порядком записи; применяют правило умножения там, где выборы зависят друг от друга.
Кратко о главном
- Комбинаторика отвечает на вопрос «сколькими способами».
- Перебор вариантов ведут по системе, чтобы ничего не упустить.
- Дерево вариантов наглядно показывает все случаи.
- Когда выборы независимы, число вариантов равно произведению количеств.