Задачи на наименьшее общее кратное
🔢 Математика · 5 класс
Когда нужен НОК в задачах
Наименьшее общее кратное (НОК) двух или нескольких чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится на каждое из них без остатка. В текстовых задачах НОК появляется там, где события повторяются с разной периодичностью, а нам нужно узнать, когда они совпадут снова. Такие задачи кажутся сложными, но на деле сводятся к одному вычислению, если правильно понять условие.
Как распознать такую задачу
Признак простой: в условии несколько процессов идут со своими промежутками. Автобусы отходят каждые несколько минут, фонари мигают через разное число секунд, спортсмены пробегают круг за разное время, шестерёнки делают оборот за разное число секунд. Вопрос «когда совпадёт впервые» или «через сколько повторится» почти всегда решается через НОК.
| Сюжет задачи | Что ищем |
|---|---|
| Два автобуса с разным интервалом | через сколько минут отойдут вместе |
| Две лампочки мигают | когда вспыхнут одновременно |
| Бегуны на круговой дорожке | когда встретятся на старте |
| Поставка товара по графику | в какой день привезут оба товара |
Как находят НОК
Самый надёжный способ — разложить числа на простые множители, а затем взять каждый множитель в наибольшей встретившейся степени и всё перемножить. Этот способ работает для любых чисел и не требует перебора.
Разобранный пример
Один автобус отходит каждые 12 минут, другой — каждые 18 минут. Сейчас они отошли вместе. Через сколько минут это повторится?
Разложим числа на простые множители:
12 = 2·2·3
18 = 2·3·3
В НОК берём каждый множитель в наибольшей степени: двойку — два раза (из числа 12), тройку — два раза (из числа 18):
НОК(12, 18) = 2·2·3·3 = 36
Значит, автобусы снова отойдут вместе через 36 минут. Проверим: 36 : 12 = 3 и 36 : 18 = 2 — оба деления без остатка, ответ верный.
Порядок решения
- Выпиши периоды повторения из условия задачи.
- Разложи каждое число на простые множители.
- Найди НОК, взяв каждый множитель в наибольшей степени.
- Запиши ответ в нужных единицах и проверь делением.
Важно. Не путайте НОК и НОД. НОК нужен для вопроса «когда совпадут снова» — он всегда больше или равен наибольшему из чисел. НОД нужен, когда что-то делят на равные части без остатка — он меньше или равен наименьшему из чисел. Если ответ получился меньше большего числа, значит, вы случайно посчитали НОД вместо НОК.
Кратко о главном
- НОК — наименьшее число, делящееся на каждое из данных без остатка.
- Через НОК решают задачи о совпадении периодических событий.
- Алгоритм: разложить на множители, взять каждый в наибольшей степени, перемножить.
- НОК — для «совпадут снова», НОД — для «делят поровну».
- Ответ всегда проверяй делением на исходные числа.