Ломаная и её длина

Ломаная и её длина

Ломаная — это линия, состоящая из нескольких отрезков, идущих один за другим, причём конец каждого отрезка является началом следующего. Отрезки, из которых составлена ломаная, называют звеньями, а точки, где звенья соединяются, — вершинами. Ломаная не лежит на одной прямой: в каждой вершине линия меняет направление.

Виды ломаных

Ломаная бывает незамкнутой, если её начало и конец не совпадают, и замкнутой, если последнее звено возвращается в начальную точку. Замкнутая ломаная ограничивает многоугольник: замкнутая ломаная из трёх звеньев образует треугольник, из четырёх — четырёхугольник. Ломаная также может быть самопересекающейся, если её звенья пересекаются между собой, или без самопересечений.

Правило: длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев. Чтобы её найти, нужно измерить каждое звено линейкой и сложить все результаты.

Разобранный пример

Пусть незамкнутая ломаная имеет три звена длиной 4 см, 7 см и 5 см. Найдём её длину сложением.

Если бы те же вершины соединяла замкнутая ломаная и добавилось четвёртое звено длиной 6 см, общая длина стала бы больше.

Заметь: у замкнутой ломаной число звеньев равно числу вершин, а у незамкнутой звеньев на одно меньше, чем точек.

Сравнение с отрезком

Между двумя точками самый короткий путь — это прямой отрезок. Любая ломаная, соединяющая те же две точки, всегда длиннее этого отрезка или равна ему. Это важное свойство геометрии: прямая дорога между двумя пунктами короче любого пути с поворотами. Поэтому, спрямляя маршрут, мы сокращаем расстояние.

Как измерять и записывать

Звенья измеряют линейкой по очереди, записывая каждую длину отдельно. Затем все числа складывают. Удобно обозначать вершины буквами по порядку — тогда звенья легко перечислять и не пропускать. Если ломаная нарисована на клетчатой бумаге, длины часто можно определить прямо по клеткам, без линейки.

Где встречается

Понятие ломаной нужно при измерении длины извилистой дороги, границы участка, контура фигуры. Периметр любого многоугольника — это, по сути, длина замкнутой ломаной, образующей его стороны.

Частые ошибки: складывают не все звенья, а только часть; путают вершины и звенья; считают, что у замкнутой ломаной звеньев на одно меньше, чем вершин, хотя их поровну.

Кратко о главном

• Ломаная состоит из звеньев, соединённых в вершинах.
• Ломаная бывает замкнутой и незамкнутой.
• Длина ломаной — это сумма длин всех её звеньев.
• У замкнутой ломаной звеньев столько же, сколько вершин.
• Отрезок между двумя точками всегда короче ломаной с теми же концами.