Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения

Распределительный закон связывает умножение со сложением и вычитанием. Он показывает, как умножить число на сумму или на разность. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и результаты сложить.

В буквенном виде закон записывают так:

a · (b + c) = a · b + a · c

Точно так же закон работает и для разности:

a · (b − c) = a · b − a · c

Раскрытие скобок

Переход от записи a · (b + c) к записи a · b + a · c называют раскрытием скобок. Множитель перед скобкой умножают на каждое слагаемое внутри них.

Этот приём помогает считать в уме. Например, чтобы умножить 6 · 23, число 23 удобно представить как сумму 20 + 3:

6 · 23 = 6 · (20 + 3) = 6 · 20 + 6 · 3 = 120 + 18 = 138

Вынесение общего множителя

Закон можно применять и в обратную сторону — от суммы произведений к произведению. Это называют вынесением общего множителя за скобки:

a · b + a · c = a · (b + c)

Такой приём ускоряет вычисления, когда в слагаемых есть одинаковый множитель.

Разобранный пример

Вычислим удобным способом 25 · 17 + 25 · 3. В обоих слагаемых есть множитель 25 — вынесем его за скобки:

25 · 17 + 25 · 3 = 25 · (17 + 3) = 25 · 20 = 500

Если в слагаемых есть одинаковый множитель, его выгодно вынести за скобки: оставшиеся числа часто складываются в круглое число.

Когда в скобках несколько слагаемых

Распределительный закон работает и тогда, когда в скобках стоит сумма трёх и более слагаемых. Множитель перед скобкой умножают на каждое слагаемое:

a · (b + c + d) = a · b + a · c + a · d

Например: 5 · (10 + 4 + 2) = 5 · 10 + 5 · 4 + 5 · 2 = 50 + 20 + 10 = 80. Тот же результат можно получить, сложив сначала числа в скобках: 5 · 16 = 80. Оба способа верны, а распределительный закон позволяет выбрать тот, который удобнее для устного счёта.

Применение в задачах

Распределительный закон часто помогает в практических задачах. Пусть в зале 8 рядов, в каждом ряду по 12 кресел в партере и по 5 кресел на балконе. Сколько всего кресел? Можно посчитать так:

8 · 12 + 8 · 5 = 8 · (12 + 5) = 8 · 17 = 136

Мы вынесли общий множитель 8 за скобки и сразу нашли ответ: 136 кресел. Без закона пришлось бы считать два произведения отдельно.

Частые ошибки. При раскрытии скобок забывают умножить множитель на второе слагаемое: пишут 6 · (20 + 3) = 6 · 20 + 3. Это неверно — умножать нужно на каждое слагаемое. При вынесении множителя забывают, что в скобках должно остаться столько слагаемых, сколько их было.

Кратко о главном

• Распределительный закон: a · (b + c) = a · b + a · c.
• Закон верен и для разности: a · (b − c) = a · b − a · c.
• Раскрытие скобок и вынесение общего множителя — два направления одного закона.
• Приём помогает считать быстро и в уме.