Признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10
🔢 Математика · 5 класс
Зачем нужны признаки делимости
Признак делимости — это правило, по которому можно узнать, делится ли число на другое нацело, не выполняя само деление. Достаточно посмотреть на запись числа: на его последнюю цифру или на сумму цифр. Это сильно ускоряет вычисления и сокращение дробей.
Делимость на 2, 5 и 10
Эти признаки смотрят на последнюю цифру числа.
- На 2 делятся числа, которые оканчиваются на чётную цифру: 0, 2, 4, 6 или 8. Такие числа называют чётными.
- На 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 5.
- На 10 делятся числа, оканчивающиеся на 0.
Делимость на 3 и 9
Эти признаки смотрят на сумму цифр числа.
- На 3 делится число, если сумма его цифр делится на 3.
- На 9 делится число, если сумма его цифр делится на 9.
Признаки на 2, 5 и 10 проверяют по последней цифре, а признаки на 3 и 9 — по сумме всех цифр числа.
| Делитель | Признак | Пример делящегося |
|---|---|---|
| 2 | оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8 | 74 |
| 5 | оканчивается на 0 или 5 | 135 |
| 10 | оканчивается на 0 | 250 |
| 3 | сумма цифр делится на 3 | 123 |
| 9 | сумма цифр делится на 9 | 513 |
Разобранный пример
Проверим, делится ли число 513 на 3 и на 9. Найдём сумму его цифр:
5 + 1 + 3 = 9
Число 9 делится и на 3, и на 9. Значит, 513 делится и на 3, и на 9. Проверка: 513 : 9 = 57.
А число 124 на 3 не делится, потому что сумма цифр 1 + 2 + 4 = 7 на 3 не делится.
Делимость произведения и суммы
Есть полезные правила и для действий с числами. Если хотя бы один множитель делится на какое-то число, то и всё произведение делится на него. Например, произведение 7 · 6 делится на 3, потому что множитель 6 делится на 3. Для суммы правило другое: если каждое слагаемое делится на число, то и вся сумма делится на это число. Так, сумма 15 + 21 делится на 3, ведь и 15, и 21 делятся на 3.
Зачем нужны признаки делимости
Признаки делимости применяют при сокращении дробей и при разложении чисел на множители. Чтобы сократить дробь, нужно найти число, на которое делятся и числитель, и знаменатель. Например, в дроби 18/24 сумма цифр у 18 равна 9, а у 24 равна 6 — оба числа делятся на 3, значит дробь можно сократить на 3. Без признаков пришлось бы перебирать делители вслепую, а с ними сразу видно, на что делить.
Частые ошибки. Признак делимости на 3 и 9 ошибочно применяют к последней цифре вместо суммы цифр. Также забывают, что если число делится на 9, то оно делится и на 3, но не наоборот. Ещё считают, что если число делится на 2 и на 3 по отдельности, этого мало, — но именно так и проверяют делимость на 6.
Кратко о главном
- Признак делимости определяет деление нацело без вычисления.
- На 2, 5 и 10 проверяют по последней цифре.
- На 3 и 9 проверяют по сумме цифр.
- Если число делится на 9, оно делится и на 3.