Степень числа. Квадрат и куб

Что такое степень числа

Степенью называют произведение нескольких одинаковых множителей. Вместо длинной записи 5 · 5 · 5 · 5 пишут коротко 5⁴ и читают «пять в четвёртой степени». В этой записи число, которое умножают, называют основанием степени, а число, показывающее, сколько множителей берут, — показателем степени.

Так, в записи 5⁴ основание равно 5, а показатель равен 4. Значение этой степени: 5 · 5 · 5 · 5 = 625.

Квадрат и куб числа

Две степени встречаются особенно часто, поэтому у них есть собственные названия.

Квадратом числа называют его вторую степень. Запись a² читают «а в квадрате»: a² = a · a. Название связано с геометрией: площадь квадрата со стороной a равна a · a.

Кубом числа называют его третью степень. Запись a³ читают «а в кубе»: a³ = a · a · a. Объём куба с ребром a равен a · a · a.

Порядок действий со степенями

В выражениях со скобками сначала выполняют действия в скобках, затем возводят в степень, потом умножают и делят, и только в конце складывают и вычитают.

Возведение в степень считают раньше умножения, деления, сложения и вычитания, но позже действий в скобках.

Разобранный пример

Найдём значение выражения 3² + 2 · 4³.

3² = 9

4³ = 64

2 · 64 = 128

9 + 128 = 137

Сначала вычислили степени, затем умножение, в конце сложение. Ответ: 137.

Степени числа 10

Особенно удобны степени числа 10. Они помогают коротко записывать большие круглые числа. Показатель степени числа 10 равен количеству нулей в результате:

10² = 100, 10³ = 1000, 10⁴ = 10 000

Так, 10⁶ — это единица с шестью нулями, то есть миллион. На степенях десятки основан весь десятичный счёт: каждый следующий разряд числа в десять раз больше предыдущего.

Ещё один разобранный пример

Вычислим (2 + 3)² − 10. Сначала выполняем действие в скобках, затем возводим в квадрат и только потом вычитаем:

(2 + 3)² − 10 = 5² − 10 = 25 − 10 = 15

Обрати внимание: (2 + 3)² не равно 2² + 3². Если посчитать по отдельности, получится 4 + 9 = 13, а не 25. Поэтому скобки важны: возводить в степень нужно уже найденную сумму.

Частые ошибки. Степень путают с умножением: 5³ — это не 5 · 3, а 5 · 5 · 5. Также важно, что a¹ = a, то есть первая степень любого числа равна самому числу. Ещё одна ошибка — возводить в степень слагаемые по отдельности, забыв про скобки.

Кратко о главном

• Степень — произведение одинаковых множителей.
• Основание — какое число умножают, показатель — сколько множителей.
• Квадрат — вторая степень, куб — третья степень числа.
• Возведение в степень выполняют после скобок, но до умножения и сложения.