Разложение числа на простые множители

🔢 Математика · 5 класс

Что такое разложение на простые множители

Разложить число на простые множители — значит представить его в виде произведения только простых чисел. Любое составное число можно разложить на простые множители, причём единственным способом, если не считать порядка множителей. Это важное свойство натуральных чисел. Разложение на простые множители помогает находить все делители числа, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, а значит, без него трудно обойтись при работе с дробями.

Как выполнять разложение

Число последовательно делят на наименьшее простое число, на которое оно делится без остатка. Затем то же самое повторяют с полученным частным. Деление продолжают до тех пор, пока в частном не останется единица. Все простые делители, которые встречались по дороге, и образуют искомое разложение.

Делим число на 2, пока оно делится на 2.
Затем делим на 3, потом на 5, на 7 и далее по простым числам.
Записываем все простые делители в виде произведения.
Заканчиваем, когда в частном получилась единица.

Разберём пример

Разложим число 60 на простые множители удобным столбиком. Слева пишут само число, справа от черты — простой делитель, а ниже слева — полученное частное.

60 | 2
30 | 2
15 | 3
 5 | 5
 1
60 = 2 · 2 · 3 · 5

Когда мы дошли до единицы, разложение готово. Если перемножить все простые делители из правого столбца, снова получится исходное число 60. Это удобный способ проверить, что разложение выполнено верно.

Число	Разложение
18	`2 · 3 · 3`
50	`2 · 5 · 5`
84	`2 · 2 · 3 · 7`
100	`2 · 2 · 5 · 5`

Частая ошибка. В правильном разложении должны стоять только простые числа. Запись вида 60 = 4 · 15 не является разложением на простые множители, потому что числа 4 и 15 сами составные. Их нужно разложить дальше: четыре как 2 · 2, а пятнадцать как 3 · 5.

Зачем это нужно

По разложению на простые множители легко перечислить все делители числа и сравнить два числа между собой. На разложении основаны удобные способы поиска наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Эти величины понадобятся при сокращении дробей и при приведении дробей к общему знаменателю, поэтому навык разложения очень пригодится в дальнейшем.

Кратко о главном

Разложение — это запись числа в виде произведения простых множителей.
Делят на наименьшее простое число, затем повторяют с частным.
Деление продолжают, пока в частном не получится единица.
В разложении стоят только простые числа.
Произведение всех делителей равно исходному числу.
Разложение помогает искать делители, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

← Предыдущая тема

Простые и составные числа

Следующая тема →

Сокращение дробей