Признаки делимости
🔢 Математика · 6 класс
Что такое признаки делимости
Признак делимости — это правило, по которому можно узнать, делится ли одно натуральное число на другое без остатка, не выполняя само деление. Достаточно посмотреть на цифры числа или на сумму его цифр. Это сильно экономит время, когда нужно сократить дробь, разложить число на множители или быстро проверить вычисления. В шестом классе признаки делимости встречаются почти на каждом уроке, поэтому их важно знать наизусть.
Напомним основное понятие. Число a делится на число b, если найдётся такое натуральное число, при умножении которого на b получается a. В этом случае говорят, что b — делитель числа a, а a — кратное числа b. Например, 24 делится на 6, потому что 6 · 4 = 24; значит, 6 — делитель, а 24 — кратное.
Основные признаки
В шестом классе изучают признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, а также на 4 и 25. Их удобно собрать в одну таблицу и держать перед глазами при решении задач.
| Делитель | Признак | Пример |
|---|---|---|
| 2 | последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8) | 374 делится на 2 |
| 5 | последняя цифра 0 или 5 | 245 делится на 5 |
| 10 | последняя цифра 0 | 980 делится на 10 |
| 3 | сумма цифр делится на 3 | 123: сумма цифр 6 |
| 9 | сумма цифр делится на 9 | 342: сумма цифр 9 |
| 4 | две последние цифры образуют число, кратное 4 | 716: 16 делится на 4 |
| 25 | две последние цифры 00, 25, 50 или 75 | 475 делится на 25 |
Разбор примера
Проверим, делится ли число 4572 на 2, на 3 и на 9. Сначала смотрим на последнюю цифру: она равна 2, то есть чётная, значит, число делится на 2. Теперь найдём сумму цифр.
4 + 5 + 7 + 2 = 18Сумма цифр равна 18. Число 18 делится на 3 и на 9, поэтому и само число 4572 делится и на 3, и на 9. А вот на 5 и на 10 оно не делится, ведь его последняя цифра не 0 и не 5. Так, опираясь только на цифры, мы узнали сразу про несколько делителей, не выполняя ни одного деления.
Чётные и нечётные числа
Числа, которые делятся на 2, называют чётными, а которые не делятся — нечётными. Любое натуральное число либо чётное, либо нечётное; третьего не бывает. Чётность часто используют, чтобы быстро отсеять заведомо неподходящие ответы в задачах.
Простые и составные числа
Число, у которого ровно два делителя — единица и оно само, — называют простым. Это, например, 2, 3, 5, 7, 11, 13. Если делителей больше двух, число называют составным: таковы 4, 6, 9, 12, 15. Особое место занимает единица: у неё только один делитель, поэтому её не относят ни к простым, ни к составным числам.
Частые ошибки. Не путайте делимость на 3 и на 9: число может делиться на 3, но не делиться на 9 — например, 12. Для признаков делимости на 4 и на 25 смотрят на две последние цифры, а не на одну. И помните: если число делится на 9, оно обязательно делится и на 3, но обратное верно не всегда.
Кратко о главном
- Признак делимости позволяет узнать делимость без самого деления.
- На 2, 5 и 10 смотрят по последней цифре, на 4 и 25 — по двум последним.
- На 3 и 9 смотрят по сумме цифр числа.
- Простое число имеет ровно два делителя, составное — больше двух.