Признаки делимости на 4 и на 25

Признаки делимости на 4 и на 25

Признак делимости — это правило, по которому можно узнать, делится ли число на данный делитель, не выполняя само деление. Для чисел 4 и 25 такие признаки опираются на две последние цифры числа. Это связано с тем, что 100 делится и на 4, и на 25, поэтому все сотни, тысячи и более крупные разряды на делимость не влияют.

Признак делимости на 4

Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, записанное его двумя последними цифрами, делится на 4 (или эти две цифры — нули).

Например, число 1316 делится на 4, потому что 16 делится на 4. А число 1322 на 4 не делится, потому что 22 на 4 не делится. Достаточно посмотреть только на последние две цифры — всё, что стоит левее, на делимость на 4 не влияет.

Признак делимости на 25

Натуральное число делится на 25 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75.

Например, 1375 делится на 25 (оканчивается на 75), а 1340 — не делится. Это удобно: вместо деления достаточно взглянуть на две последние цифры. Запомнить четыре окончания несложно — это все числа из двух цифр, кратные 25.

Таблица проверки

Почему достаточно двух цифр

Любое число можно представить как сумму сотен и двух последних цифр, например 2316 = 2300 + 16. Число 2300 делится на 4 (ведь 100 делится на 4), поэтому делимость всего числа на 4 зависит только от слагаемого 16. То же рассуждение работает и для 25.

Разобранный пример

Проверим число 2316 на делимость на 4 и на 25.

Связь с делимостью на 100

Число делится на 100 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на два нуля. Любое такое число делится и на 4, и на 25, потому что 100 = 4 · 25. Поэтому круглые числа вроде 300, 1700, 25000 всегда делятся и на 4, и на 25 одновременно.

Применение признаков

Признаки делимости помогают быстро сокращать дроби и раскладывать числа на множители. Например, чтобы сократить дробь 16/100, замечаем, что и числитель, и знаменатель делятся на 4: 16 : 4 = 4, 100 : 4 = 25, поэтому 16/100 = 4/25. Без признаков пришлось бы перебирать делители вручную.

Частые ошибки. Не путайте признаки: для делимости на 2 и на 5 смотрят на одну последнюю цифру, а для 4 и 25 — на две последние. Число может делиться на 4, но не делиться на 25, и наоборот.

Кратко о главном

• Делимость на 4 проверяют по двум последним цифрам.
• Делимость на 25 — по окончанию 00, 25, 50 или 75.
• Признаки работают, потому что 100 делится и на 4, и на 25.
• Признаки экономят время: само деление выполнять не нужно.
• На 4 и 25 влияют только две последние цифры числа.