Нахождение числа по его дроби

Что значит найти число по его дроби

Иногда известна часть величины и доля, которую эта часть составляет, а найти нужно всю величину целиком. Такая задача называется нахождением числа по его дроби. Например: «3/5 класса — это 18 человек, сколько всего учеников?» Здесь 18 — это часть, дробь 3/5 — доля, а всё число (количество учеников) неизвестно.

Важно научиться различать, что в задаче дано, а что требуется найти. Если в условии сказано «такая-то часть составляет столько-то» и спрашивается про целое — это как раз задача на нахождение числа по дроби.

Правило

Правило. Чтобы найти число по его дроби, нужно данное значение части разделить на эту дробь (то есть умножить на дробь, обратную данной).

Если часть a соответствует дроби m/n, то всё число равно:

x = a : (m/n) = a · (n/m)

Разбор примера

Вернёмся к классу: часть a=18, дробь m/n = 3/5. Тогда:

x = 18 : (3/5) = 18 · (5/3) = (18·5)/3 = 90/3 = 30

Всего в классе 30 учеников. Проверим обратным действием: 3/5 от 30 = 30:5·3 = 18 — верно, значит ответ найден правильно.

Разберём ещё один пример. В магазин привезли яблоки. За день продали 2/3 всех яблок, это оказалось 24 килограмма. Сколько яблок привезли? Часть a=24, доля 2/3, поэтому всё число: 24 : (2/3) = 24 · (3/2) = 36 килограммов.

Известная часть	Её доля	Всё число
18	3/5	18 · 5/3 = 30
24	2/3	24 · 3/2 = 36
7	1/4	7 · 4 = 28
40	5/8	40 · 8/5 = 64

Связь с процентами

Проценты — это тоже дроби со знаменателем 100. Если 15 % некоторого числа равны 45, то само число равно 45 : 0,15 = 300. По сути это тот же приём деления части на её долю, только доля записана в виде десятичной дроби. Поэтому, освоив нахождение числа по дроби, вы автоматически умеете находить число по проценту.

Краткая запись решения

Удобно записывать задачу так: сначала выписать, какая дробь соответствует какому числу, затем разделить. Например, для задачи про яблоки: 2/3 → 24 кг, 1 (целое) → ? кг, откуда целое равно 24 : 2/3. Такая запись помогает не запутаться в том, что дано, а что нужно найти, особенно в задачах с несколькими действиями.

Задача в два действия

Иногда сначала находят целое, а потом другую его часть. Например: 4/9 участка засеяли картофелем, это 12 соток. Сколько соток занимает остальная часть участка? Сначала найдём весь участок: 12 : 4/9 = 12 · 9/4 = 27 соток. Тогда оставшаяся часть равна 27 − 12 = 15 соток. Так задача на нахождение числа по дроби становится первым шагом более сложного решения.

Частые ошибки. Не путайте две задачи: «найти дробь от числа» — это умножение, а «найти число по дроби» — деление. Если ответ получился меньше известной части, скорее всего вы умножили там, где надо было разделить. Помните: целое всегда больше своей правильной части.

Кратко о главном

• Дано: часть величины и её доля; найти нужно всю величину.
• Делим часть на дробь: x = a : (m/n) = a · n/m.
• Проценты сводятся к делению на десятичную дробь.
• Результат всегда больше известной части (если доля меньше единицы).
• Проверять ответ удобно обратным действием — нахождением дроби от числа.