Основное свойство пропорции
🔢 Математика · 6 класс
Что такое пропорция
Пропорция — это равенство двух отношений. Если отношение a : b равно отношению c : d, то записывают a : b = c : d или в виде равенства дробей a/b = c/d. Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c — средними. Читают такую запись так: «a относится к b так же, как c относится к d».
Отношением двух чисел называют их частное, поэтому пропорция показывает, что два частных равны между собой. Например, отношение 10 : 2 равно 5, и отношение 15 : 3 тоже равно 5, значит, можно записать пропорцию 10 : 2 = 15 : 3. Пропорции встречаются в задачах на масштаб, на проценты, на стоимость покупок и на движение.
Основное свойство пропорции
Главное правило, которым пользуются при решении задач, звучит коротко: произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Еслиa/b = c/d, тоa · d = b · c. И наоборот: еслиa · d = b · c, то из этих чисел можно составить пропорцию.
Это свойство позволяет проверять, верна ли пропорция, и находить неизвестный член. Например, проверим пропорцию 3 : 4 = 9 : 12. Перемножим крайние члены: 3 · 12 = 36. Перемножим средние: 4 · 9 = 36. Произведения равны, значит, пропорция верна.
Таблица членов пропорции
| Запись | Крайние члены | Средние члены | Проверка |
|---|---|---|---|
| 2 : 5 = 6 : 15 | 2 и 15 | 5 и 6 | 2·15 = 30, 5·6 = 30 |
| 8 : 6 = 4 : 3 | 8 и 3 | 6 и 4 | 8·3 = 24, 6·4 = 24 |
| 7 : 2 = 21 : 6 | 7 и 6 | 2 и 21 | 7·6 = 42, 2·21 = 42 |
| 9 : 12 = 3 : 4 | 9 и 4 | 12 и 3 | 9·4 = 36, 12·3 = 36 |
Перестановка членов
Из верной пропорции можно получить новые верные пропорции. Допускается менять местами крайние члены, менять местами средние, а также переворачивать обе части. Все они дадут одно и то же равенство произведений. Например, из 2 : 5 = 6 : 15 следуют пропорции 2 : 6 = 5 : 15 и 15 : 5 = 6 : 2. Это удобно, когда исходную пропорцию хочется записать в более удобном для вычислений виде.
Разобранные примеры
Пример 1. Проверим, можно ли из чисел 4, 6, 10 и 15 составить пропорцию.
Попробуем 4 : 6 = 10 : 15. Крайние: 4 · 15 = 60. Средние: 6 · 10 = 60. Равны — пропорция верна.Пример 2. Верна ли пропорция 5 : 8 = 7 : 11?
Крайние: 5 · 11 = 55. Средние: 8 · 7 = 56. 55 ≠ 56 — пропорция неверна.Частые ошибки. Не путайте крайние и средние члены: крайние стоят по краям записи, средние — в середине. Нельзя перемножать «по диагонали» дроби как попало — действует строго правило крайних и средних. Перед проверкой полезно записать, какие именно числа крайние, а какие средние.
Кратко о главном
- Пропорция — равенство двух отношений
a : b = c : d. - a и d — крайние члены, b и c — средние.
- Основное свойство:
a · d = b · c. - По этому свойству проверяют пропорцию и находят неизвестный член.
- Члены пропорции можно переставлять, получая новые верные пропорции.