Развёртка прямоугольного параллелепипеда

Что такое развёртка

Развёртка прямоугольного параллелепипеда — это плоская фигура, которая получается, если «разрезать» его по некоторым рёбрам и разложить все грани на плоскости. По развёртке удобно представлять поверхность тела и вычислять её площадь. Если развёртку вырезать из бумаги и согнуть по линиям, снова получится параллелепипед.

Развёртку можно сложить по-разному, выбирая разные рёбра для разреза, поэтому у одного и того же тела бывает несколько развёрток. Но площадь любой из них одна и та же — она равна площади поверхности тела.

Грани параллелепипеда

У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, и все они — прямоугольники. Грани образуют 3 пары равных между собой: верхняя и нижняя, передняя и задняя, две боковые. Все рёбра задаются тремя измерениями: длиной a, шириной b и высотой c. Кроме граней, у параллелепипеда 8 вершин и 12 рёбер.

Площадь поверхности

Правило. Площадь поверхности равна сумме площадей всех граней. Так как грани попарно равны, площадь полной поверхности: S = 2·(a·b + b·c + a·c).

Разбор примера

Найдём площадь поверхности параллелепипеда с измерениями a=5, b=3, c=4 см:

S = 2·(5·3 + 3·4 + 5·4) S = 2·(15 + 12 + 20) = 2·47 = 94 см²

Тот же ответ можно получить, сложив площади всех шести граней по отдельности: 15+15+12+12+20+20 = 94 квадратных сантиметра. Множитель 2 в формуле как раз учитывает, что граней каждого вида по две.

Пара граней	Размеры	Площадь одной
Верх и низ	5 × 3	15 см²
Перёд и зад	3 × 4	12 см²
Боковые	5 × 4	20 см²

Развёртка куба

Куб — это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все рёбра равны. Поэтому все 6 граней — одинаковые квадраты со стороной a, и площадь поверхности равна S = 6·a². Развёртку куба можно сложить, например, в виде «креста» из шести квадратов. Существует 11 различных развёрток куба.

Связь с объёмом

Не путайте площадь поверхности с объёмом. Объём параллелепипеда находится по формуле V = a·b·c и измеряется в кубических единицах. Для нашего примера V = 5·3·4 = 60 кубических сантиметров. Площадь поверхности показывает, сколько материала нужно для оболочки тела, а объём — сколько внутри помещается.

Частые ошибки. Не забывайте множитель 2: граней по две каждого вида. Не путайте площадь поверхности (измеряется в квадратных единицах) с объёмом V = a·b·c (в кубических единицах).

Кратко о главном

• Развёртка — это все грани тела, разложенные на плоскости.
• У параллелепипеда 6 граней-прямоугольников, равных попарно.
• Площадь поверхности: S = 2·(ab + bc + ac).
• У куба S = 6·a²; не путайте поверхность с объёмом.
• Объём находят по формуле V = a·b·c.