Делители и кратные натурального числа

Делители и кратные натурального числа

Делитель натурального числа — это число, на которое оно делится без остатка. Кратное числа — это число, которое делится на него без остатка. Например, число три является делителем числа двенадцать, а число двенадцать — кратным числа три.

Как найти все делители числа

Чтобы найти все делители, нужно перебрать числа от единицы до самого числа и проверить, какие из них делят его нацело. Удобно искать делители парами: если число делится на два, то и на результат деления тоже.

Делители 12: 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4 → 1, 2, 3, 4, 6, 12

У любого числа есть как минимум два делителя — единица и само число. Если делителей ровно два, число называется простым.

Число	Все делители	Сколько делителей
6	1, 2, 3, 6	4
10	1, 2, 5, 10	4
16	1, 2, 4, 8, 16	5
7	1, 7	2 (простое)

Кратные числа

Кратных у числа бесконечно много. Чтобы их получить, число умножают на единицу, два, три и так далее.

Кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...

Правило. Наименьшее кратное любого числа — само это число. Наибольшего кратного не существует: их бесконечно много.

Где это применяют

• При сокращении дробей — ищут общие делители.
• При сложении дробей — ищут общие кратные знаменателей.
• В задачах на распределение поровну.

Признаки делимости в помощь

Чтобы быстро находить делители, удобно помнить признаки делимости. Число делится на два, если оно чётное, то есть оканчивается на ноль, два, четыре, шесть или восемь. Число делится на пять, если оно оканчивается на ноль или пять. Число делится на три, если сумма его цифр делится на три. Например, у числа двадцать четыре сумма цифр равна шести, а шесть делится на три, поэтому и двадцать четыре делится на три.

Эти признаки экономят время: не нужно делить столбиком, достаточно взглянуть на число. Так мы сразу понимаем, что среди делителей числа тридцать обязательно будут два, три и пять, ведь оно чётное, его сумма цифр делится на три и оно оканчивается нулём.

Связь делителей и кратных

Делитель и кратное — это два взгляда на одно и то же отношение между числами. Если число шесть является делителем числа восемнадцать, то восемнадцать является кратным числа шесть. Можно сказать так: меньшее число прячется в большем целое число раз. Восемнадцать содержит ровно три шестёрки, поэтому шесть делит восемнадцать без остатка, а восемнадцать кратно шести.

Частые ошибки. Не путай делитель и кратное: делитель меньше или равен числу, а кратное больше или равно. Единица — делитель любого числа, но не считается простым числом. Ноль не рассматривают как делитель.

Кратко о главном

• Делитель делит число нацело; кратное само делится на число.
• Делителей конечное число, кратных — бесконечно.
• Удобно искать делители парами.
• Единица и само число — всегда делители.