Решение задач с помощью пропорций

Пропорция как инструмент решения задач

Пропорция — это равенство двух отношений: a:b = c:d, или a/b = c/d. Числа a и d называют крайними членами пропорции, а b и c — средними. Многие текстовые задачи удобно решать, составляя пропорцию между двумя величинами, которые связаны прямо или обратно пропорционально.

Главное преимущество этого метода в том, что он подходит для самых разных задач: на стоимость покупок, на масштаб карты, на работу, на расход материалов. Один и тот же приём решает целые группы задач.

Основное свойство пропорции

Основное свойство. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних: если a/b = c/d, то a·d = b·c. Отсюда любой неизвестный член находится делением.

Например, в пропорции x/6 = 10/4 неизвестный крайний член находим так: x = (6·10)/4 = 60/4 = 15. Если неизвестен средний член, действуют точно так же: из 4/x = 8/10 получаем x = (4·10)/8 = 5.

Разбор примера на стоимость

За 5 тетрадей заплатили 90 рублей. Сколько стоят 8 таких тетрадей? Чем больше тетрадей, тем больше стоимость — зависимость прямая. Составим пропорцию, записывая величины в одном порядке:

5 тетр / 90 руб = 8 тетр / x руб → x = (8·90)/5 = 720/5 = 144

Ответ: 144 рубля. Проверим прикидкой: 8 тетрадей дороже 5, и 144 больше 90 — логично.

Тип задачи	Зависимость	Как составить
Стоимость покупки	прямая	в одном порядке
Рабочие и срок	обратная	одно отношение переворачивают
Масштаб карты	прямая	в одном порядке
Скорость и время	обратная	одно отношение переворачивают

Обратная пропорциональность

6 рабочих выполняют заказ за 8 дней. За сколько дней справятся 12 рабочих? Чем больше рабочих, тем меньше дней — зависимость обратная, поэтому одно из отношений переворачиваем: 6/12 = x/8, откуда x = (6·8)/12 = 48/12 = 4 дня. Здесь видно, как важно сначала понять характер зависимости.

Порядок решения задачи

Чтобы решить задачу пропорцией, удобно действовать по шагам: 1) выписать две связанные величины; 2) определить, прямая зависимость или обратная; 3) составить пропорцию; 4) по основному свойству найти неизвестное; 5) проверить прикидкой.

Частые ошибки. Перед составлением пропорции обязательно определите тип зависимости. Если перепутать прямую и обратную, ответ получится неверным. Записывайте одинаковые величины в соответствующих местах отношений: тетради под тетрадями, рубли под рублями.

Кратко о главном

• Пропорция — равенство двух отношений a/b = c/d.
• Основное свойство: a·d = b·c.
• Для прямой зависимости отношения пишут в одном порядке.
• Для обратной — одно отношение переворачивают.
• Решение проверяют прикидкой результата.