Расстояние между точками на координатной прямой
🔢 Математика · 6 класс
Длина отрезка на координатной прямой
На координатной прямой каждой точке соответствует число — её координата. Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, соединяющего их. Расстояние всегда выражается неотрицательным числом, ведь длина не может быть отрицательной. Это важное отличие расстояния от координаты, которая может быть и отрицательной.
Координатная прямая — это прямая, на которой выбраны начало отсчёта (точка с координатой 0), единичный отрезок и направление. Справа от нуля располагаются положительные числа, слева — отрицательные.
Правило вычисления
Правило. Расстояние между точками с координатамиaиbравно модулю их разности:AB = |a − b|. Порядок вычитания не важен, так как|a − b| = |b − a|.
Разбор примера
Найдём расстояние между точками A(-3) и B(4):
AB = |-3 - 4| = |-7| = 7
Можно рассуждать и без формулы: от -3 до нуля — 3 единицы, от нуля до 4 — ещё 4, итого 7. Результат совпадает. Если поменять точки местами, получится тот же ответ: |4-(-3)| = |7| = 7.
| Точка A | Точка B | Расстояние |
|---|---|---|
| 2 | 9 | |2-9| = 7 |
| -5 | -1 | |-5-(-1)| = 4 |
| -6 | 3 | |-6-3| = 9 |
| -2,5 | 1,5 | |-2,5-1,5| = 4 |
Расстояние от точки до нуля
Частный случай — расстояние от точки до начала координат. Оно равно модулю координаты этой точки. Например, точка -7 удалена от нуля на |-7| = 7 единиц, а точка 7 — тоже на 7 единиц. Поэтому противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля по разные стороны.
Координата середины отрезка
Середина отрезка делит его пополам, а её координата равна полусумме координат концов: c = (a + b)/2. Например, середина отрезка от -3 до 4 имеет координату (-3+4)/2 = 1/2 = 0,5. Проверим: от -3 до 0,5 — это 3,5, и от 0,5 до 4 — тоже 3,5, значит точка действительно делит отрезок пополам.
Применение в задачах
Расстояние между точками на прямой используют в задачах на движение и сравнение. Например, если на числовой прямой отметить положения двух пешеходов координатами -2 и 6, то расстояние между ними равно |-2 - 6| = 8 единиц. Когда они идут навстречу, это расстояние уменьшается. Так координатная прямая становится удобной моделью для наглядного решения текстовых задач.
Частые ошибки. Нельзя просто вычитать координаты без модуля: разность может оказаться отрицательной, а длина отрицательной не бывает. Также не путайте координату точки (само число) и расстояние до неё от нуля (это модуль координаты).
Кратко о главном
- Расстояние между точками:
AB = |a − b|. - Длина всегда неотрицательна, порядок вычитания не важен.
- Расстояние от точки до нуля равно модулю её координаты.
- Координата середины — полусумма координат концов.
- Противоположные числа равноудалены от нуля.