Разрезания фигур: площадь, число частей и раскраски

В задачах на разрезание нужно не только предложить рисунок, но и доказать, что он соответствует правилам. Различают разрез одной детали, одновременный разрез стопки и разбиение без перестановки частей. Если правило не уточнить, ответы на одну внешне похожую задачу могут различаться.

Сколько разрезов нужно

Прямоугольник 4×5 клеток требуется разделить на 20 единичных клеток. За один ход разрешено разрезать только одну имеющуюся часть на две; складывать стопкой нельзя. Каждый разрез увеличивает число частей ровно на 1. Из одной части нужно получить 20, поэтому требуется не меньше 19 разрезов.

Эта нижняя граница достигается последовательным отделением клеток и полос в допустимой схеме. Значит, ответ 19. Если разрешить разрезать несколько сложенных деталей одновременно, аргумент «плюс одна часть» перестанет описывать ход, и задача изменится. Условия нельзя менять незаметно ради более короткого решения.

Площадь — необходимая проверка

Если фигуру разрезают и собирают без наложений и пропусков, суммарная площадь сохраняется. Поэтому из прямоугольника площади 20 нельзя получить квадрат площади 25 только перестановкой частей. Однако равенства площадей ещё недостаточно, чтобы любое требуемое разбиение существовало при любых ограничениях.

Периметр при разрезании, напротив, может изменяться: появляются новые края. Не используйте его как инвариант без доказательства. При склеивании часть границ становится внутренней и перестаёт входить во внешний периметр.

Раскраска выявляет невозможность

Раскрасим шахматную доску 8×8 в два цвета. Домино 1×2 по линиям клеток всегда покрывает одну клетку каждого цвета. Если удалить два противоположных угла, исчезнут две клетки одного цвета: останутся 30 одного и 32 другого. Поэтому покрыть остаток такими домино без наложений нельзя.

Важно указать, что домино укладываются по клеткам. Доказательство использует именно свойство покрытия двух соседних разноцветных клеток. Число клеток 62 чётно, но одной чётности недостаточно: раскраска даёт более сильное ограничение.

Задания с ответами

1. Сколько частей получится после 7 разрезов, если каждый ход делит ровно одну часть на две?8. 2. Может ли разрезание увеличить суммарную площадь деталей без добавления материала? Нет. 3. Почему чётного числа клеток недостаточно для замощения домино? Могут нарушаться цветовые и геометрические ограничения.

Для практики сначала сформулируйте нижнюю границу, затем постройте достижимую схему. Если построения нет, вы доказали только «не меньше», а не точный ответ. Этот порядок — ограничение, конструкция, проверка — полезен во многих олимпиадных задачах.

Построение, достигающее нижней границы

Для прямоугольника 4×5 сначала сделаем три разреза, выделив четыре полосы 1×5. Каждую полосу разделим ещё четырьмя разрезами на пять клеток. Всего получится 3+4·4=19 разрезов. Каждый ход делит одну деталь, и правило задачи выполнено. Это конкретное построение дополняет нижнюю оценку. Если же разрешить за один ход резать несколько полос, сложенных стопкой, подсчёт будет другим: число новых деталей за ход уже не обязано равняться единице.

Связанные материалы

Площадь прямоугольника и единицы площади, Что такое правильный многоугольник.