Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Наибольший общий делитель двух или нескольких натуральных чисел — это самое большое число, на которое каждое из них делится без остатка. Его кратко обозначают НОД. Наименьшее общее кратное — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел. Его обозначают НОК. Эти два понятия тесно связаны и постоянно нужны при работе с обыкновенными дробями.

Разложение на простые множители

Чтобы находить НОД и НОК, числа сначала раскладывают на простые множители. Разложить число на простые множители — значит представить его в виде произведения простых чисел. Делают это, последовательно деля число на наименьшие простые делители.

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5
120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5

Любое составное число раскладывается на простые множители единственным образом, если не считать порядок множителей. Это свойство и лежит в основе поиска НОД и НОК.

Как найти наибольший общий делитель

Чтобы найти НОД, выписывают разложения чисел и берут только общие простые множители, причём каждый — в наименьшей встречающейся степени. Затем выбранные множители перемножают. Найдём НОД чисел 24 и 36.

24 = 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
НОД = 2 · 2 · 3 = 12

Как найти наименьшее общее кратное

Чтобы найти НОК, берут все множители большего разложения и добавляют к ним недостающие множители из второго числа. Можно сказать иначе: выписывают каждый простой множитель в наибольшей встречающейся степени.

НОК(24, 36) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72

Взаимно простые числа

Если НОД двух чисел равен 1, такие числа называют взаимно простыми. Например, 8 и 15 взаимно простые, хотя каждое из них составное: у них нет общих простых множителей. Для взаимно простых чисел наименьшее общее кратное равно их произведению, и это удобное правило заметно ускоряет вычисления.

Где это нужно

Наибольший общий делитель применяют, когда сокращают дробь: числитель и знаменатель делят на их НОД, и дробь сразу становится несократимой. Наименьшее общее кратное нужно, чтобы приводить дроби к общему знаменателю при сложении и вычитании, а также в задачах, где события повторяются через разные промежутки времени — например, чтобы узнать, когда два автобуса снова отправятся одновременно.

Частые ошибки. Не путайте НОД и НОК: наибольший общий делитель всегда не больше каждого из чисел, а наименьшее общее кратное всегда не меньше большего из них. Для НОД берут только общие множители, а для НОК — все. Если получился НОК меньше большего числа, в решении точно есть ошибка.

Кратко о главном

• НОД — наибольшее число, на которое делятся все данные числа.
• НОК — наименьшее число, которое делится на все данные числа.
• Числа сначала раскладывают на простые множители.
• Если НОД равен 1, числа взаимно простые, и тогда их НОК равен произведению.