Разложение числа на простые множители
🔢 Математика · 6 класс
Разложение числа на простые множители
Разложить число на простые множители — значит представить его в виде произведения только простых чисел. Простое число имеет ровно два делителя: единицу и само себя (например, два, три, пять, семь, одиннадцать). Любое составное число можно единственным образом разложить на простые множители — это основная теорема арифметики.
Способ деления столбиком
Число последовательно делят на наименьшие простые числа, пока не получат единицу. Делители записывают справа от вертикальной черты.
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1
60 = 2 · 2 · 3 · 5
Сначала делим на два, пока делится, затем на три, потом на пять. Произведение всех правых множителей и есть разложение.
Запись степенью
Если простой множитель повторяется, его записывают степенью. Так разложение становится короче.
60 = 2² · 3 · 5
| Число | Разложение | Со степенями |
|---|---|---|
| 12 | 2 · 2 · 3 | 2² · 3 |
| 36 | 2 · 2 · 3 · 3 | 2² · 3² |
| 100 | 2 · 2 · 5 · 5 | 2² · 5² |
| 45 | 3 · 3 · 5 | 3² · 5 |
Зачем это нужно
- Для нахождения наибольшего общего делителя.
- Для нахождения наименьшего общего кратного.
- Для сокращения дробей и проверки делимости.
Правило. Делить начинают всегда с наименьшего простого числа, на которое делится данное число. Признаки делимости помогают: на два делятся чётные, на пять — оканчивающиеся на ноль или пять, на три — если сумма цифр делится на три.
Как проверить разложение
Чтобы убедиться, что разложение верное, достаточно перемножить все найденные простые множители — должно получиться исходное число. Например, разложив число тридцать шесть, мы получили два, два, три и три. Перемножим: два на два будет четыре, четыре на три будет двенадцать, двенадцать на три будет тридцать шесть. Число совпало, значит разложение выполнено правильно.
Важно доводить разложение до конца. Если в произведении остался составной множитель, например четыре или девять, разложение не завершено — четыре нужно разложить как два на два, а девять как три на три. Простые числа дальше разложить нельзя, на них процесс и останавливается.
Зачем нужны простые множители
Разложение на простые множители — это как разбор числа на «кирпичики», из которых оно построено. Зная эти кирпичики, легко находить общие делители двух чисел и общие кратные. Если у двух чисел в разложениях есть одинаковые множители, то их произведение и будет общим делителем. Этот приём используют при сокращении дробей и при приведении дробей к общему знаменателю.
Частые ошибки. В разложении не должно остаться составных множителей — раскладывают до конца. Единицу в разложение не включают: она не простое число.
Кратко о главном
- Разложение — произведение только простых чисел.
- Делят столбиком, начиная с наименьшего простого делителя.
- Повторяющиеся множители записывают степенью.
- Разложение нужно для общих делителей, кратных и сокращения дробей.