Прямая и обратная пропорциональность
🔢 Математика · 6 класс
Пропорциональные величины
Многие величины в задачах связаны между собой. Когда изменение одной величины приводит к закономерному изменению другой, говорят о пропорциональной зависимости. Различают два её вида: прямую и обратную пропорциональность. Умение распознавать их — ключ к решению множества практических задач про покупки, движение и работу.
Прямая пропорциональность
Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.
При прямой пропорциональности отношение величин остаётся постоянным. Пример: чем больше килограммов товара, тем больше его стоимость при неизменной цене. Если 2 кг стоят 100 рублей, то 6 кг (в три раза больше) стоят 300 рублей. Отношение стоимости к массе всегда равно цене одного килограмма.
Обратная пропорциональность
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
При обратной пропорциональности постоянным остаётся произведение величин. Пример: чем больше скорость, тем меньше времени уйдёт на путь. Если при скорости 60 км/ч путь занимает 2 часа, то при скорости 120 км/ч (в два раза больше) — 1 час (в два раза меньше). При этом произведение скорости на время равно длине пути и не меняется.
| Зависимость | Пример | Что постоянно |
|---|---|---|
| Прямая | масса и стоимость | отношение величин |
| Прямая | время и пройденный путь | отношение величин |
| Обратная | скорость и время в пути | произведение величин |
| Обратная | число рабочих и время работы | произведение величин |
Как отличить виды зависимости
Чтобы понять, какая зависимость перед нами, мысленно увеличивают одну величину и смотрят, что происходит со второй. Если вторая величина тоже растёт — зависимость прямая. Если вторая убывает — обратная. Этот шаг важно делать в самом начале решения, ведь от вида зависимости зависит способ составления пропорции.
Разбор примера
За 4 часа работы 3 насоса откачивают воду из котлована. Сколько времени потребуется 6 таким же насосам? Число насосов и время работы обратно пропорциональны: чем больше насосов, тем быстрее работа. Насосов стало в два раза больше, значит времени потребуется в два раза меньше: 4 : 2 = 2 часа.
Проверим через постоянное произведение: 3 · 4 = 12 и 6 · 2 = 12 — совпадает. Сравним с прямой зависимостью: если 3 тетради стоят 90 рублей, то 6 тетрадей (вдвое больше) стоят 180 рублей (тоже вдвое больше) — здесь величины растут вместе.
Частые ошибки. Важно сначала определить вид зависимости. При прямой пропорциональности составляют пропорцию, где обе дроби идут в одном порядке, при обратной — одно из отношений «переворачивают». Перепутав виды, легко получить неверный ответ.
Кратко о главном
- Прямо пропорциональные величины меняются в одинаковое число раз в одну сторону.
- У прямой пропорциональности постоянно отношение величин.
- Обратно пропорциональные величины меняются в противоположные стороны.
- У обратной пропорциональности постоянно произведение величин.
- Вид зависимости определяют до составления пропорции.