Как найти неизвестный член пропорции
🔢 Математика · 6 класс
Правило и формулы для крайнего и среднего члена, алгоритм по шагам, 5 разобранных примеров, задачи на прямую и обратную пропорциональность.
Как найти неизвестный член пропорции
Чтобы найти неизвестный член пропорции, пользуются её основным свойством: произведение крайних членов равно произведению средних. Отсюда два правила. Неизвестный крайний член равен произведению средних членов, делённому на известный крайний. Неизвестный средний член равен произведению крайних членов, делённому на известный средний. Например, в пропорции x : 6 = 10 : 4 неизвестен крайний член: x = (6 · 10) : 4 = 15.
Пропорция — это равенство двух отношений: a : b = c : d (читается «a относится к b, как c относится к d»). Числа a и d называют крайними членами, b и c — средними. В записи дробями a/b = c/d крайние стоят по диагонали «левый верх — правый низ», средние — по другой диагонали.
Основное свойство пропорции
В верной пропорции a : b = c : d выполняется равенство a · d = b · c. Проверим на пропорции 2 : 3 = 4 : 6. Крайние: 2 · 6 = 12, средние: 3 · 4 = 12. Равны — пропорция верна. Именно на этом свойстве держится весь способ нахождения неизвестного члена: если три числа известны, четвёртое находится из равенства произведений одним делением.
Правило и формулы для всех четырёх случаев
| Пропорция | Какой член неизвестен | Формула |
|---|---|---|
| x : b = c : d | крайний | x = (b · c) : d |
| a : b = c : x | крайний | x = (b · c) : a |
| a : x = c : d | средний | x = (a · d) : c |
| a : b = x : d | средний | x = (a · d) : b |
Запомнить проще так: перемножаем два числа, которые стоят «наискосок» от x, и делим на то, что осталось. Это работает и для записи через двоеточие, и для записи дробями.
Алгоритм решения по шагам
- Определите, какой член неизвестен — крайний или средний.
- Запишите равенство произведений: крайние = средние, x оставьте с одной стороны.
- Перемножьте известные числа.
- Разделите произведение на число, стоящее рядом с x.
- Сделайте проверку: подставьте x в пропорцию и сравните произведения крайних и средних.
Разобранные примеры
Пример 1. Неизвестен крайний член. x : 6 = 10 : 4. Крайние — x и 4, средние — 6 и 10. Записываем: x · 4 = 6 · 10, то есть 4x = 60, откуда x = 60 : 4 = 15. Проверка: 15 · 4 = 60, 6 · 10 = 60 — верно.
Пример 2. Неизвестен средний член. 8 : x = 12 : 9. Крайние — 8 и 9, средние — x и 12. Записываем: 8 · 9 = x · 12, то есть 72 = 12x, откуда x = 72 : 12 = 6. Проверка: 8 · 9 = 72, 6 · 12 = 72 — верно.
Пример 3. Дроби в пропорции. 0,5 : x = 2 : 7. Произведение крайних: 0,5 · 7 = 3,5. Значит, 2x = 3,5, x = 3,5 : 2 = 1,75.
Пример 4. Пропорция записана дробями. x/12 = 5/4. Перемножаем крест-накрест: 4x = 12 · 5 = 60, x = 15.
Пример 5. Обыкновенные дроби. 2/3 : x = 4/9 : 1/2. Произведение крайних: 2/3 · 1/2 = 1/3. Тогда x · 4/9 = 1/3, x = 1/3 : 4/9 = 1/3 · 9/4 = 3/4.
Как найти неизвестный член, если он в уравнении
Задание «решите уравнение 3 : x = 12 : 8» — та же задача. Пропорцию превращают в обычное уравнение: 3 · 8 = 12x → 24 = 12x → x = 2. Любая пропорция с одним неизвестным сводится к линейному уравнению вида k · x = m, которое решают делением.
Применение: задачи на прямую пропорциональность
Задача. За 3 кг яблок заплатили 240 рублей. Сколько стоят 5 кг по той же цене? Количество и стоимость связаны прямой пропорциональностью: во сколько раз больше яблок, во столько раз больше заплатят. Составим пропорцию 3 : 240 = 5 : x. Неизвестен крайний член: x = (240 · 5) : 3 = 400 рублей.
Задача на масштаб. На карте масштаба 1 : 1000 отрезку 4 см соответствует расстояние x на местности. Из пропорции 1 : 1000 = 4 : x получаем x = 4 · 1000 = 4000 см = 40 м.
Задача на проценты. 15 % от числа равны 45. Найдите число. Пропорция: 15 : 100 = 45 : x, x = (100 · 45) : 15 = 300.
Применение: задачи на обратную пропорциональность
Не всякая зависимость прямая. Если 6 рабочих выполняют работу за 8 дней, то 12 рабочих сделают её быстрее. Здесь величины обратно пропорциональны: во сколько раз больше рабочих, во столько раз меньше дней. Пропорцию записывают «перевёрнутой»: 6 : 12 = x : 8, откуда x = (6 · 8) : 12 = 4 дня. Главное — до составления пропорции понять, растёт вторая величина вместе с первой или убывает.
| Тип зависимости | Признак | Как записать пропорцию |
|---|---|---|
| Прямая | больше одного → больше другого (цена, путь при постоянной скорости) | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ |
| Обратная | больше одного → меньше другого (рабочие и дни, скорость и время) | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
Проверка ответа
Найденный x подставляют обратно в пропорцию и сравнивают произведения. Второй способ — прикинуть на глаз: в пропорции 3 : 240 = 5 : x первая пара «3 → 240» означает «в 80 раз больше», значит и x должен быть в 80 раз больше 5, то есть 400. Если получилось число другого порядка (например, 4 или 40 000), в вычислениях ошибка.
Частые ошибки
- Перемножить средние и разделить на средний (или крайние на крайний). Нужно делить на число из другой пары.
- Перепутать крайние и средние члены в записи дробями: крайние — это a и d, «верх левой» и «низ правой».
- Составить прямую пропорцию для обратной зависимости (рабочие и дни, скорость и время).
- Не перевести единицы: в задаче на масштаб сантиметры и метры смешивать нельзя.
- Не сделать проверку — а она занимает 10 секунд и ловит большинство ошибок.
Задания для самопроверки
- x : 5 = 12 : 20. Ответ: 3.
- 7 : x = 21 : 6. Ответ: 2.
- 1,5 : 3 = x : 8. Ответ: 4.
- 9 : 4 = 27 : x. Ответ: 12.
- Из 2 кг муки получается 3 кг хлеба. Сколько хлеба получится из 10 кг муки? Ответ: 15 кг.
- Автомобиль на скорости 60 км/ч проехал путь за 3 ч. За сколько часов он проедет тот же путь на скорости 90 км/ч? Ответ: 2 ч (обратная пропорциональность).
Кратко о главном
- Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
- Неизвестный крайний член = произведение средних : известный крайний.
- Неизвестный средний член = произведение крайних : известный средний.
- Коротко: перемножь числа «наискосок» от x и раздели на оставшееся.
- Перед составлением пропорции в задаче определите, прямая зависимость или обратная.
- Всегда проверяйте ответ подстановкой.