Распределительный закон умножения

Распределительный закон

Распределительный закон связывает между собой умножение и сложение. Он позволяет умножить число на сумму, умножив его на каждое слагаемое по отдельности. Этот закон лежит в основе раскрытия скобок и многих устных приёмов счёта, поэтому его важно хорошо понять.

Распределительный закон называют ещё распределением умножения относительно сложения. Он работает в обе стороны: можно и раскрывать скобки, и наоборот, выносить общий множитель.

Формулировка

Закон. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и результаты сложить: a·(b + c) = a·b + a·c. Аналогично для разности: a·(b − c) = a·b − a·c.

Удобный счёт

Закон помогает считать быстрее, разбивая «неудобное» число на удобные части. Например:

7 · 102 = 7·(100 + 2) = 700 + 14 = 714 6 · 98 = 6·(100 - 2) = 600 - 12 = 588

Здесь мы заменили множитель близким круглым числом и поправкой, а затем применили распределительный закон. Такой приём позволяет умножать в уме даже большие числа.

Выражение	Применение закона	Ответ
5·(8+3)	5·8 + 5·3	55
4·(20-7)	4·20 - 4·7	52
9·103	9·100 + 9·3	927
8·(10-1)	8·10 - 8·1	72

Вынесение общего множителя

Закон работает и в обратную сторону: если в слагаемых есть одинаковый множитель, его выносят за скобку. Это называют вынесением общего множителя:

3·a + 3·b = 3·(a + b) 12 + 18 = 6·2 + 6·3 = 6·(2 + 3) = 6·5 = 30

Вынесение множителя помогает упрощать буквенные выражения и быстро считать суммы, в которых есть общий множитель.

Применение к буквенным выражениям

С помощью закона раскрывают скобки в выражениях с переменными. Например, 5·(x + 4) = 5x + 20, а 3·(2a − 1) = 6a − 3. Это первый шаг к упрощению выражений и решению уравнений.

Закон для трёх и более слагаемых

Распределительный закон работает и тогда, когда в скобках больше двух слагаемых: число умножают на каждое из них. Например, 2·(a + b + c) = 2a + 2b + 2c, а 4·(10 + 5 + 1) = 40 + 20 + 4 = 64. Главное — не пропустить ни одного слагаемого и каждый раз сохранять его знак. Этот приём пригодится при упрощении длинных выражений в старших классах.

Частые ошибки. Умножать нужно на каждое слагаемое, а не только на первое: запись a·(b+c) = a·b + c ошибочна. Следите за знаками при разности: a·(b−c) = a·b − a·c, минус сохраняется перед вторым произведением.

Кратко о главном

• Распределительный закон: a·(b+c) = a·b + a·c.
• Он позволяет раскрывать скобки и быстро считать.
• Обратное действие — вынесение общего множителя за скобку.
• Умножать надо на каждое слагаемое, сохраняя знаки.
• Закон применяют и к числовым, и к буквенным выражениям.